lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Núcleo e Imagem
Nesta seção, será examinada com cuidado a possibilidade de uma
transformação linear admitir ou não uma inversa. Veremos que isto
está associado à existência e à unicidade da solução de um sistema
de equações lineares. Será introduzido o conceito de isomorfismo, que
dará um sentido preciso à afirmação de que dois espaços vetoriais de
mesma dimensão são algebricamente indistinguíveis. Tudo começa
com o núcleo e a imagem de uma transformação.
A toda transformação linear A: E → F estão associados dois subespaços
vetoriais indispensáveis para estudar o comportamento de
A: o núcleo de A, que é um subespaço de E, e a imagem de A, que é
um subespaço de F.
A imagem de A é o subconjunto Im(A) ⊂ F, formado por todos
os vetores w = Av ∈ F que são imagens de elementos de E pela
transformação A.
A noção de imagem tem sentido seja qual for a função A: E → F,
seja linear ou não. Quando A é linear, então Im(A) é um subespaço
vetorial de F, como se vê facilmente.
Se Im(A) = F, diz-se que a transformação A é sobrejetiva. Isto
significa que, para qualquer w ∈ F dado, pode-se achar v ∈ E tal que
A·v = w.
Seja X ⊂ E um conjunto de geradores do espaço vetorial E. A
imagem da transformação linear A: E → F é o subespaço vetorial
de F gerado pelos vetores Av, v ∈ X. Em particular, A é sobrejetiva
se, e somente se, transforma X num conjunto de geradores de F.