lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 4 Transformações Lineares 49
4.20. Seja V = {v 1 ,...,v n } uma base do espaço vetorial E. Para
cada i = 1,2,...,n, seja f i : E → R o funcional linear determinado
(conforme o Teorema 4.1) pelas condições f i (v i ) = 1, f i (v j ) = 0 se
j ≠ i. Prove que {f 1 ,...,f n } é uma base de E ∗ = L(E;R) (chamada
a base dual da base V). Mostre que se tem f i (v) = x i para todo
v = x 1 v 1 +···+x n v n ∈ E.
4.21. Seja f: R 2 → R um funcional linear. Sabendo que f(1,1) = 3 e
f(2,3) = 1, calcule f(1,0) e f(0,1).
4.22. Seja A: R 2 → R 2 o operador linear dado por A(x,y) = (ax +
by,cx+dy), com ad−bc ≠ 0. Prove:
(1) Para todo v ≠ 0 em R 2 , tem-se A.v ≠ 0.
(2) Toda reta R ⊂ R 2 (variedade afim de dimensão 1) é transformada
por A numa reta.
(3) A transforma retas paralelas em retas paralelas.
4.23. Determine α de modo que as retas perpendiculares em R 2 , de
equações y = αx e y = −x/α sejam transformadas em retas perpendiculares
pelo operador linear A: R 2 → R 2 , dado por A(x,y) =
(2x+3y,x−2y).
4.24. Sejam E, F espaços vetoriais de dimensão finita. Dados os
vetores v 1 ,...,v m ∈ E e w 1 ,...,w m ∈ F, a fim de que exista uma
transformação linear A: E → F com Av 1 = w 1 ,...,Av m = w m , é
necessário e suficiente que, para toda combinação linear nula α 1 v 1 +
···+α m v m = 0, se tenha também α 1 w 1 +···+α m w m = 0.
4.25. Sejavum vetor não-nulo de um espaço vetorialE, de dimensão
finita. Dado qualquer espaço vetorial F ≠ {0}, mostre que existe uma
transformação linear A: E → F tal que Av ≠ 0.
4.26. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dada uma base
F = {f 1 ,...,f n } ⊂ E ∗ , mostre que existe uma base {v 1 ,...,v n } ⊂ E da
qual F é dual. (Veja Exercício 4.20.)
4.27. Seja Y um conjunto de geradores do espaço vetorial E. Se as
transformações linearesA,B: E → F são tais queAw = Bw para todo
w ∈ Y, prove que Av = Bv para todo v ∈ E.