lgebra Linear, Elon Lages Lima

272 O Polinômio Característico Seção 20
Demonstração: Sejam a ′ a matriz de A ′ numa base U ′ ⊂ F e a a
matriz de A numa base U ⊃ U ′ . Então
⎡
a ′ ⎤ ⎡
b
a ′ ⎤
−λI r b
a = ⎣ ⎦ e a−λI n = ⎣ ⎦ ,
0 c
0 c−λI n−r
onde r = dim F e n = dim E. Pelo Teorema 19.8, temos
onde
p A (λ) = det(a−λI n )
= det(a ′ −λI r )·det(c−λI n−r )
= p A ′(λ)·q(λ),
q(λ) = det(c−λI n−r ).
Portanto p A (λ) é um múltiplo de p A ′(λ).
Teorema 20.1. Se as raízes do polinômio característicop A são todas
reais então o operador A: E → E é triangularizável.
Demonstração: O teorema é óbvio se dim E = 1. Para prová-lo
por indução, suponhamo-lo válido em dimensão n−1 e seja dim E =
n. Introduzamos (caso não exista ainda) um produto interno em
E. Como A e A ∗ têm o mesmo polinômio característico, o operador
A ∗ : E → E tem autovalor logo existe um subespaço F ⊂ E, de dimensão
1, invariante por A ∗ . O complemento ortogonal F ⊥ = F n−1
é um subespaço vetorial de dimensão n−1 em E, invariante por A,
pois A = (A ∗ ) ∗ . (Vide Teorema 13.3.) Pelo Lema, se A ′ : F n−1 → F n−1
é a restrição de A ao subespaço F n−1 , as raízes do polinômio característico
p A ′ são também raízes de p A , logo são todas reais. Pela
hipótese de indução, existem subespaços F o ⊂ F 1 ⊂ ··· ⊂ F n−1 , com
dim F i = i, invariantes por A ′ , logo invariantes por A, o que prova o
teorema.
Exemplo 20.3. Um operador num espaço vetorial de dimensão
2 é triangularizável se, e somente se, possui ao menos um autovalor
real. Por exemplo, uma rotação de ângulo θ, com θ ≠ 0 e
θ ≠ 180 ◦ , não é triangularizável pois suas raízes características são
cos θ±i sen θ, ambas complexas. (Vide Exemplo 14.2.) Já o operador
A: R 2 → R 2 ,A(x,y) = (7x−12y,3x−5y), tem polinômio característico