lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 12 Subespaços Invariantes 147
Achar um autovetor (ou, o que é equivalente, um autovalor) do
operador A é, portanto, o mesmo que achar um subespaço de dimensão
1 invariante por A.
Analogamente, diz-se que o número real λ é um autovalor da
matriz a ∈ M(n×n) quando λ é um autovalor do operador A: R n →
R n , cuja matriz na base canônica é a. Isto significa que existe um
vetor x ≠ 0 em R n tal que Ax = λx ou, o que é, o mesmo, uma matriz
não-nula x ∈ M(n×1) tal que ax = λx.
Exemplo 12.2. Uma rotação R: R 2 → R 2 em torno da origem, de
ângulo diferente de 0 ◦ e 180 ◦ , não admite outros subespaços invariantes
além de {0} e R 2 . Por outro lado, para todo α ∈ R, a rotação
A: R 3 → R 3 de ângulo α em torno do eixo z, definida por
A(x,y,z) = (x cosα−y senα,xsenα+y cosα,z),
tem o eixo z e o plano z = 0 como subespaços invariantes. Para todo
z ≠ 0, o vetor v = (0,0,z) é um autovetor de A, cujo autovalor correspondente
é1, poisAv = v. Já no caso de uma reflexãoS: E → E em
torno do subespaço F 1 , paralelamente a F 2 (vide Teorema 7.3), todo
vetor não-nulo emF 1 é um autovetor deS, com autovalor 1, enquanto
que os vetores não-nulos em F 2 são autovetores correspondentes ao
autovalor −1. Finalmente, se o operador A tem núcleo não-trivial
então todo vetor não-nulo v ∈ N(A) é um autovetor pois Av = 0·v.
Exemplo 12.3. O operador A: R 2 → R 2 , definido por A(x,y) =
(x+αy,y), chama-se cisalhamento. Se α ≠ 0, os únicos subespaços
invariantes por A são {0}, R 2 e o eixo das abcissas. Com efeito, qualquer
outro subespaço de R 2 é uma reta F, formada pelos múltiplos
tv = (ta,tb) de um vetor v = (a,b), com b ≠ 0. Se t ≠ 0 tem-se tv ∈ F
mas A(tv) = (ta+αtb,tb) = tv+(αtb,0) /∈ F logo F não é invariante
por A.
Dados o polinômio p(x) = a 0 + a 1 x + ··· + a n x n e o operador
A: E → E, a notação p(A) indica o operador
p(A) = a 0 I+a 1 A+···+a n A n .
Lema. Para todo operador linear A: E → E, num espaço vetorial de
dimensão finita, existem um polinômio mônico irredutível p, de grau
1 ou 2, e um vetor não-nulo v ∈ E, tais que p(A)·v = 0.