lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 281
neles definidas serão chamadas R-lineares. Analogamente, as matrizes
até agora consideradas chamar-se-ão matrizes reais. A razão
para essa qualificação é que introduziremos aqui os espaços vetoriais
complexos.
Um espaço vetorial complexo é um conjunto E, cujos elementos
são chamados vetores, no qual estão definidas duas operações: a
adição, que faz corresponder a cada par de vetores u,v ∈ E um vetor
u + v, chamado a soma de u e v, e a multiplicação por um número
complexo, que a cada número complexoζeacada vetorv ∈ E faz corresponder
um vetor ζ·v = ζv, chamado o produto de ζ por v. Essas
operações devem cumprir as mesmas condições impostas na Seção 1
para os espaços vetoriais reais. Em particular, se v ∈ E e ζ = α+iβ
então ζv = αv+iβv = αv+β(iv).
Exemplo 21.1. O conjunto C n de todas as listas u = (ξ 1 ,...,ξ n ),
v = (ζ 1 ,...,ζ n ) de n números complexos, com as definições u + v =
(ξ 1 +ζ 1 ,...,ξ n +ζ n ), ζ·u = (ζ·ξ 1 ,...,ζ·ξ n ), é um espaço vetorial
complexo. Também o conjunto F(X;C) de todas as funções f: X → C,
definidas num conjunto arbitrário X, com valores complexos, é um
espaço vetorial complexo quando munido das definições óbvias para
f+g e ζ·f. O conjunto M(m×n;C) das matrizes complexas m×n
também é um espaço vetorial complexo.
As definições de dependência linear, geradores, subespaço, base,
dimensão, etc. se fazem para os espaços vetoriais complexos da
mesma maneira como foram feitas para os reais. Na realidade, tudo
o que foi dito e demonstrado nas Seções 1 a 9 vale para espaços vetoriais
complexos e as transformações lineares entre eles, as quais
chamaremos C-lineares.
Às vezes, uma base do espaço vetorial complexo E será chamada
uma C-base.
Um espaço vetorial complexo E pode, de modo natural, ser considerado
como um espaço vetorial real: basta que se considere apenas
a multiplicação dos vetores de E por números reais. Analogamente,
toda transformação C-linear A: E → F entre espaços vetoriais complexos
é, a fortiori, R-linear. Quando for conveniente, usaremos a
notação A r : E → F para indicar essa transformação R-linear, que se
chama a descomplexificada de A.
Exemplo 21.2. O conjunto C dos números complexos é um espaço
vetorial complexo de dimensão 1, logo todo número complexo