lgebra Linear, Elon Lages Lima

210 Tópicos Matriciais Seção 17
para quaisqueri,j = 1,...,n. Logo q = ap. A matriz r = p −1 é, como
vimos acima, (17.B), triangular superior com elementos positivos na
diagonal. De ap = q resulta imediatamente a = qr.
Observação Dada a matriz invertível a ∈ M(n×n), são únicas as
matrizes q, r tais que a = qr, q é ortogonal, r é triangular superior
e os elementos de sua diagonal são positivos. Com efeito, a = qr
escreve-se também como ap = q, onde p = r −1 . Isto quer dizer que p
é a matriz de passagem da base V = {v 1 ,...,v n } ⊂ R n , formada pelas
colunas de a, para a base ortonormal U = {u 1 ,...,u n } ⊂ R n , dada
pelas colunas de q. Ora, as quatro condições seguintes implicam
que cada u j é determinado univocamente a partir de v 1 ,...,v j :
1) u j = p 1j v 1 +p 2j v 2 +···+p jj v j ;
2) u j é ortogonal a v 1 ,...,v j−1 ;
3) |u j | = 1;
4) p jj > 0.
Com efeito, 1) diz que u j pertence ao subespaço F ⊂ R n gerado por
v 1 ,...,v j . 2) diz que u j pertence a reta R, complemento ortogonal de
{v 1 ,...,v j−1 } no subespaçoF. Já 3) restringeu j a ser um dos 2 vetores
unitários da reta R. E, finalmente, 4) diz que u j é o vetor unitário de
R tal que 〈u j ,v j 〉 é positivo.
A condição 1) diz que a matriz p é triangular superior. 2) e 3) dizem
que a matriz q é ortogonal, enquanto 4) afirma que os elementos
da diagonal de p são positivos. Juntas, elas garantem a unicidade
de q e portanto a unicidade de p = a −1 q.
A observação acima estabelece também a unicidade do processo
de Gram-Schmidt sob a condição de que cada u j pertença ao subespaço
gerado por v 1 ,...,v j e cumpra 〈u j ,v j 〉 > 0 (além, naturalmente,
de serem u 1 ,...,u j ortonormais).
Em resumo: a igualdade a = qr significa que as colunas de q
formam a base ortonormal de R n obtida das colunas de a por Gram-
Schmidt e r é a matriz de passagem das colunas de q para as colunas
de a.