lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 267
(d) Tem-sev = v 1 ×···×v n = 0 se, e somente se,v 1 ,...,v n são L.D. .
(e) Quando v ≠ 0, a norma |v| = |v 1 ×···×v n | é igual ao volume do
paralelepípedo n-dimensional P[v 1 ,...,v n ] ⊂ R n+1 .
[Sugestão: calcule volP[v,v 1 ,...,v n ], levando em conta (c).)
(f) Quando os vetores v 1 ,...,v n são L.I., tem-se det[v 1 ,...,v n ,v 1 ×
···×v n ] > 0.
(g) O produto vetorial v = v 1 ×···×v n é o único vetor de R n+1 com
as propriedades (c), (d), (e), (f) acima.
19.17. Para cada i = 1,...,n+1, seja a i ∈ M(n×n) a matriz obtida
omitindo a i-ésima linha de a ∈ M((n+1)×n). Prove que
∑n+1
det(a T a) = (det a i ) 2 . (Identidade de Lagrange.)
i=1
[Sugestão: use (e) acima e o Exercício 19.6.]
19.18. Prove que todo operador ortogonal com determinante positivo
possui uma raiz quadrada ortogonal. Ela é única?