lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 16 Pseudo-inversa 197
modo que não parece estar bem definida. Em seguida, provaremos
que A ′ = A + , logo A + é linear e A ′ não depende das escolhas de
bases.
Seja r o posto da transformação linear A: E → F. Pelo Teorema
13.10, existem bases ortonormais {u 1 ,...,u n } ⊂ E, {v 1 ,...,v m } ⊂ F e
números positivos σ 1 ,...,σ r tais que Au i = σ i v i , A ∗ v i = σ i u i para
1 ≤ i ≤ r e Au i = 0, A ∗ v i = 0 para i > r. Pelo Teorema 4.1, existe
uma única transformação linear A ′ : F → E tal que
A ′ v i = 1 σ i
u i para 1 ≤ i ≤ r e A ′ v i = 0 quando i > r.
Teorema 16.1. A ′ = A + = pseudo-inversa de A.
Demonstração: Devemos mostrar que, para todo y ∈ F, o vetor A ′ y
é igual a A + y, isto é, tem as seguintes propriedades: (1) AA ′ y = y o
é o vetor de Im(A) mais próximo de y; (2) A ′ y é o vetor de menor
norma em E cuja imagem por A é y o . Estas afirmações são equivalentes
a (1 ′ ) (y − AA ′ y) ⊥ Im(A), ou seja, y − AA ′ y ∈ N(A ∗ ), ou
ainda, A ∗ y = A ∗ AA ′ y; (2 ′ ) A ′ y ∈ Im(A ∗ ). Evidentemente, basta verificar
a validez de (1 ′ ) e (2 ′ ) quando y é qualquer um dos vetores
básicos v 1 ,...,v m . Nestes casos, porém, (1 ′ ) e (2 ′ ) resultam imediatamente
da definição de A ′ .
Corolário 1. AA + : F → F é a projeção ortogonal sobre Im(A) e
A + A: E → E é a projeção ortogonal sobre Im(A ∗ ).
Com efeito, temos AA ′ v i = v i se 1 ≤ i ≤ r, A ′ v i = 0 se
i > r, A ′ = A + e {v 1 ,...,v r } ⊂ Im(A) é uma base. Analogamente
para A + A. (O Corolário 1 também resulta diretamente da definição
de A + .)
Corolário 2. Se A: E → F é injetiva então A + = (A ∗ A) −1 A ∗ .
Com efeito, se A é injetiva, o operador A ∗ A: E → E é invertível.
(Corolário do Teorema 13.9). A igualdade alegada significa que
A ∗ (AA + ) = A ∗ , o que foi estabelecido na prova do Teorema 16.1.
(Forma final da condição (1 ′ ).)
Corolário 3. Se A: E → F é sobrejetiva então A + = A ∗ (AA ∗ ) −1 .
Com efeito, ainda pelo Corolário do Teorema 13.9, A sobrejetiva
implica que o operadorAA ∗ : F → F é invertível e a igualdade alegada