lgebra Linear, Elon Lages Lima

Apêndice A Forma Canônica de Jordan 327
Segue-se que Im(A k+2 ) = Im(A k+3 ), etc. Note-se que vale
N(A) ⊂ N(A 2 ) ⊂ ··· ⊂ N(A k ) = N(A k+1 ) = N(A k+2 ) = ··· .
Com efeito, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, temos
dim N(A k+1 ) = dim E−dim Im(A k+1 )
= dim E−dim Im(A k ) = dim N(A k ).
SejamF = N(A k ) eG = Im(A k ). Evidentemente,FeGsão invariantes
por A e a restrição A: F → F é nilpotente. Além disso, a restrição
A: G → G é um operador sobrejetivo pois
A(G) = A[Im(A k )] = Im(A k+1 ) = Im(A k ) = G.
Logo A: G → G é invertível. Mostremos agora que E = F+G. Dado
v ∈ E, como Im(A k ) = Im(A 2k ), existe x ∈ E tal que A k v = A 2k x.
Então, se escrevermos
v = (v−A k x)+A k x,
veremos que A k (v − A k x) = A k v − A 2k x = 0, logo v − A k x ∈ F e,
obviamente, A k x ∈ G. Assim, todo elemento v ∈ E é soma de um
vetor de F com um vetor de G, ou seja, E = F+G. Para concluir que
E = F⊕G, resta apenas mostrar que F∩G = {0}. Ora, sabemos que
dim F+dim G = dim(F+G)+dim(F∩G)
= dim E+dim(F∩G).
Por outro lado, o Teorema do Núcleo e da Imagem, aplicado ao operador
A k : E → E, nos dá dim E = dim F+dim G. Segue-se então que
dim(F∩G) = 0, isto é, F∩G = {0}.
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Teorema A2.2. Seja E = F ⊕ G como no Teorema A2.1. Se n 0 é a
multiplicidade algébrica do autovalor 0 do operador A: E → E então
a dimensão do subespaçoFéigual an 0 . Além disso,Féonúcleo eGé
a imagem deA n 0: E → E. Segue-se daí que a decomposiçãoE = F⊕G,
com as propriedades enunciadas naquele teorema, é única.
Demonstração: Sejam A ′ : F → F e A ′′ : G → G as restrições do
operador A aos subespaços invariantes F e G. Como A ′ é nilpotente
e A ′′ é invertível, o polinômio característico de A ′ é p A ′(λ) = (−λ) n ,