lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 217
Aplicando a operação L 2 −(b 32 /b 22 )L 2 à matriz a (1) chegamos à matriz
escalonada
⎡ ⎤
a 11 a 12 a 13 a 14
a (2) = u = ⎣ 0 b 22 b 23 b 24
⎦
0 0 c 33 c 34
O mesmo raciocínio se aplica em geral.
Exemplo 17.1. Considerando o escalonamento
⎡ ⎤
1 2 3 4
⎣5 6 7 8
9 10 12 12
⎡
⎦ L 2−5L1
−→
L 3 −9L 1
L 3 −2L 2
1 2 3 4
⎣
0 −4 −8 −12
0 −8 −15 −24
⎡ ⎤
1 2 3 4
−→ ⎣0 −4 −8 −12⎦
0 0 1 0
⎤
⎦ L 3−2L 2
−→
obtemos a decomposição
⎡ ⎤
1 2 3 4
⎣5 6 7 8 ⎦ =
9 10 12 12
⎡ ⎤
1 0 0
⎣5 1 0⎦
9 2 1
⎡ ⎤
1 2 3 4
⎣0 −4 −8 −12⎦ ,
0 0 1 0
que exprime a matriz do primeiro membro como um produto do tipo
lu, de uma matriz triangular inferior com diagonal (1,1,1) por uma
matriz escalonada com pivôs 1,−4,1. (Todos ≠ 0 pois a matriz dada
tem posto máximo.)
Exemplo 17.2. Examinando, no Exemplo 9.4, as operações elementares
efetuadas a partir da segunda, quando não ocorrem mais
transposições de linhas, obtemos a seguinte decomposição do tipo
a = lu:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
2 1 3 0 1 0 0 0 1 1 3 0
⎢0 1 2 3
⎥
⎣3 4 2 0⎦ = ⎢
0 1 0 0
⎥ ⎢0 1 2 3
⎣3
5
2 2
1 0⎦
⎣0 0 − 15
4 2 0 1
4
2 0 0 0 0 7
5
1
2
− 15
2
⎤
⎥
⎦