lgebra Linear, Elon Lages Lima

100 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
8.40. Sejam U, V e W bases finitas do espaço vetorial E. Se p e q são
respectivamente as matrizes de passagem de U para V e de V para
W, prove que as matrizes de passagem de U para W e de V para U
são respectivamente pq e p −1 .
8.41. Prove que o posto da transformação linear BA é menor do que
ou igual ao posto de A e ao posto de B. Dê um exemplo em que posto
de A = posto de B > posto de BA.
8.42. Dada a transformação linear A: E → F, entre espaços de dimensão
finita, sejam E 1 ⊂ E e F 1 ⊂ F subespaços tais que E =
N(A) ⊕ E 1 e F = Im(A) ⊕ F 1 . Tome bases U ⊂ E e V ⊂ F cujos
primeiros elementos formam respectivamente uma base de N(A) e
uma base de Im(A). Que forma tem a matriz de A relativamente a
U e V?
8.43. Sejam A: E → F e B: F → G transformações lineares entre
espaços vetoriais de dimensão finita. Se B é injetiva, prove que o
posto de BA é igual ao posto de A. Que condição sobre A assegura
que o posto de BA seja igual ao de B?
8.44. Se E tem dimensão finita, prove que não existem operadores
lineares A,B: E → E tais que AB−BA = I ou tais que AB−BA seja
uma projeção. (Use o traço. Compare com o Exercício 5.13.)
8.45. Sejam V,V ′ ⊂ E, e W,W ′ ⊂ F bases finitas, e p, q as matrizes
de passagem de V para V ′ e de W para W ′ respectivamente. Dada
a transformação linear A: E → F, sejam a e a ′ respectivamente as
matrizes de A relativamente às bases V,W e V ′ ,W ′ . Mostre que p é
a matriz de I E nas bases V ′ ,V e q é a matriz de I F nas bases W ′ ,W.
Use as igualdades A = AI E e A = I F A para provar que ap e qa ′
são iguais à matriz de A nas bases V ′ ,W. Obtenha assim uma nova
dedução da fórmula a ′ = q −1 ap.
8.46. Prove que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se,
e somente se, seu traço é igual a 1 .