lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 209
para todo i. (17.B.) Usando o símbolo de Kronecker δ ij , temos
δ ij = 〈u i ,u j 〉 =
n∑
p ri p sj 〈v r ,v s 〉 =
r,s=1
n∑
p ri a rs p sj ,
r,s=1
logo p T ap = I n . Pondo t = p −1 , obtemos a = t T · t.
A decomposição de Cholesky é única. Noutras palavras, se s e t
são matrizes triangulares superiores n×n com diagonais positivas
e s T · s = t T · t então s = t.
Com efeito, de s T .s = t T .t resulta st −1 = (s T ) −1 .t T . Como o primeiro
membro desta última igualdade é uma matriz triangular superior
e o segundo é triangular inferior, concluímos que d = st −1 =
(s T ) −1 .t T é uma matriz diagonal, com d ii > 0 (e d ij = 0 se i ≠ j).
Segue-se imediatamente das igualdades acima que s = dt e t = ds.
Olhando para os elementos da diagonal, temos s ii = d ii t ii e t ii =
d ii s ii . Como s ii > 0 e t ii > 0, isto implica d ii = 1, logo d = I n e s = t.
17.D A Decomposição qr
Esta é uma interpretação matricial do processo de Gram-Schmidt.
Segundo ela, toda matriz invertível a = [a ij ] ∈ M(n×n) admite uma
decomposição do tipo a = qr, onde q é ortogonal e r é triangular
superior, com elementos positivos na diagonal.
Para chegar a este resultado, chamemos de v 1 ,...,v n as colunas
da matriz a e de U = {u 1 ,...,u n } ⊂ R n a base ortonormal obtida dos
v i pelo processo de Gram-Schmidt. Como sabemos, a matriz p = [p ij ]
de passagem da base V = {v 1 ,...,v n } para a base U é triangular superior,
com elementos positivos na diagonal. Além disso, a matriz
q = [q ij ], cujas colunas são os vetores u j = (q 1j ,q 2j ,...,q nj ), é ortogonal.
Tomando a i-ésima coordenada de ambos os membros da igualdade
vetorial u j = ∑ p kj v k , obtemos
k
q ij =
n∑
p kj a ik =
k=1
n∑
a ik p kj = (ap) ij ,
k=1