lgebra Linear, Elon Lages Lima

198 Pseudo-inversa Seção 16
equivale a (A + A)A ∗ = A ∗ . Isto é evidente se substituirmos A + por
A ′ (vide prova do Teorema 16.1) e testarmos a igualdade em cada
um dos vetores da base {v 1 ,...,v m } ⊂ F.
Corolário 4. Se A: E → F é invertível então A + = A −1 .
Evidente.
Segue-se dos Corolários 2 e 3 que se A é injetiva então A + é uma
inversa à esquerda deA, e seAésobrejetiva entãoA + é uma inversa
à direita de A.
Corolário 5. Para toda transformação linear A: E → F, tem-se
(A ∗ ) + = (A + ) ∗ : E → F.
Com efeito, as bases ortonormais fornecidas pelo Teorema 13.10
e usadas na definição de A ′ tanto servem para A como para A ∗ . Se
as utilizarmos com A ∗ em vez de A, obteremos (A ∗ ) ′ u i = (1/σ i )v i se
1 ≤ i ≤ r e (A ∗ ) ′ u i = 0 se i ≥ r + 1. Mas é claro que (A ′ ) ∗ opera
do mesmo modo sobre os vetores básicos u i . Logo (A ′ ) ∗ = (A ∗ ) ′ e daí
segue o corolário.
Exemplo 16.1. Se A: E → F é ortogonal então é injetiva, logo
A + = (A ∗ A) −1 A ∗ . Mas a ortogonalidade de A significa A ∗ A = I E ,
logo A + = A ∗ .
Exemplo 16.2. Seja A: R 2 → R 3 dada por A(x,y) = (x,y,0). Como
A é ortogonal, temos A + = A ∗ . A matriz de A tem colunas (1,0,0) e
(0,1,0), logo estas são as linhas da matriz de A ∗ , portanto A ∗ (x,y,z)
= (x,y). Portanto a pseudo-inversa de A é A + : R 3 → R 2 , dada por
A + (x,y,z) = (x,y).
Exemplo 16.3. Definamos A: R 2 → R 3 pondo A(x,y) = (x,y,x +
y). Como A é injetiva, sua pseudo-inversa é A + = (A ∗ A) −1 A ∗ . As
colunas da matriz deA(linhas da matriz deA ∗ ) são(1,0,1) e(0,1,1),
logo
A ∗ (x,y,z) = (x+z,y+z)
e daí
A ∗ A(x,y) = (2x+y,x+2y).
Para determinar (A ∗ A) −1 (x,y) = (s,t), resolvemos o sistema
(A ∗ A)(s,t) = (x,y), ou seja2s+t = x,s+2t = y, no qual as incógnitas