lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 16 Pseudo-inversa 201
16.5. Sejam A: E → F e B: F → G transformações lineares. Se
Im(A) = Im(B ∗ ), prove que (BA) + = A + B + .
16.6. Dado o operador A: E → E, prove:
(a) Se A é auto-adjunto, A + também é.
(b) Se A é normal, A + também é.
(c) Se A é não-negativo, A + também é.
16.7. Dados os vetores linearmente independentes v 1 ,...,v r ∈ R n ,
seja a ∈ M(n × r) a matriz que os tem como colunas. Prove que a
projeção ortogonal de um vetor qualquer x ∈ R n sobre o subespaço
gerado por v 1 ,...,v r é Px = a(a T a) −1 a T x, onde identificamos o vetor
x ∈ R n com a matriz x ∈ M(n×1) cuja única coluna é x.
16.8. Use a fórmula acima para determinar a projeção ortogonal do
vetor (1,2,3) sobre o plano gerado pelos vetores (1,1,1) e (1,−1,1).
16.9. Seja A: R n → R m uma transformação linear. Prove que, dado
qualquer b ∈ R m , a equação A ∗ Ax = A ∗ b sempre possui solução.
(Uma infinidade delas se A ∗ A não é invertível.)
16.10. Prove as seguintes propriedades da pseudo-inversa de uma
transformação linear A: E → F:
(a)
AA + A = A
(b) A + AA + = A +
(c) (AA + ) ∗ = AA +
(d) (A + A) ∗ = A + A.
16.11. Seja A: R 2 → R 3 dada por A(x,y) = (x,y,2x+3y). Determine
a pseudo-inversa A + : R 3 → R 2 .
16.12. Ache a pseudo-inversa da transformação linear A: R 3 → R 2 ,
sabendo que A(x,y,z) = (x+y,y+z).