lgebra Linear, Elon Lages Lima

34 Bases Seção 3
3.13. Mostre que os vetores u = (1,1,1), v = (1,2,1) e w = (2,1,2)
são L.D. .
3.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also) quanto à validez da afirmação:
“A união de dois subconjuntos L.I. do espaço vetorial E é ainda
um conjunto L.I.”
( ) Sempre.
( ) Nunca.
( ) Quando um deles é disjunto do outro.
( ) Quando um deles é parte do outro.
( ) Quando um deles é disjunto do subespaço gerado pelo outro.
( ) Quando o número de elementos de um deles mais o número de
elementos do outro é igual à dimensão de E.
3.15. Seja S o conjunto das matrizes simétricas n × n. Para cada
par (i,j) de números naturais de 1 até n, com i ≤ j, seja s ij a matriz
n × n cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais
são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para
o subespaço vetorial S ⊂ M(n×n). De modo análogo, obtenha uma
base do subespaço A das matrizes anti-simétricas n × n. Conclua
que dim S = n(n+1)/2 e dim A = n(n−1)/2.
3.16. As matrizes t = [t ij ] ∈ M(n×n) tais que t ij = 0 quando i < j
são chamadas triangulares inferiores. Prove que elas constituem
um subespaço vetorial L ⊂ M(n × n), obtenha uma base para L e
determine a sua dimensão.
3.17. Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão
de cada um dos subespaços de M(n×n) abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
(c) matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é
igual à soma dos elementos da segunda coluna.