lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 6 Núcleo e Imagem 69
( ) O núcleo de toda transformação linear A: R 5 → R 3 tem dimensão
≥ 3.
6.12. Seja a = [a ij ] uma matriz m × n. Se suas colunas geram um
subespaço vetorial F, de dimensão r, em R m prove que, para todo
∑
b ∈ F, as soluções x = (x 1 ,...,x n ) do sistema linear n a ij x j = b i (i =
1,...,m) formam uma variedade afim de dimensão n−r em R n .
6.13. Prove que cada uma das transformações lineares abaixo é injetiva
e obtenha uma inversa à esquerda linear para cada uma delas.
(a) A: R → R n ; A(x) = (x,2x,...,nx).
(b) B: R 2 → R 3 ; B(x,y) = (x+2y,x+y,x−y).
(c) D: R 3 → R 4 ; D(x,y,z) = (2x,3y,5z,x+y+z).
(d) C: P n → P n+2 ; C·p(x) = (x 2 +1)p(x).
j=1
6.14. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um operador
linear A: E → E, defina o novo operador T A : L(E) → L(E) pondo
T A (X) = AX, para todo X ∈ L(E). Prove que T A é invertível se, e
somente se, A é invertível. Mesmo problema para S A (X) = XA.
6.15. SejamF 1 ,F 2 subespaços deEtais que dim F 1 +dim F 2 = dim E.
Mostre que existe um operador linear A: E → E tal que F 1 = N(A) e
F 2 = Im(A).
6.16. Prove que uma transformação linear A: E → F é sobrejetiva
se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de E num
conjunto de geradores de F.
6.17. Seja A: R 2 → R 2 um operador linear ≠ 0. Se A n = 0 para
algum n > 2, prove que A 2 = 0. [Sugestão: seja F = ImA. Então a
restrição de A à reta F é zero ou é invertível.]
6.18. Seja A: P n → P n o operador linear definido por A · p(x) =
x·p ′′′ (x). Descreva o núcleo e a imagem de A. Obtenha bases para
N(A) e para Im(A).