lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 229
Se b = [b ij ] é a matriz da forma bilinear b na base U =
{u 1 ,...,u m } ⊂ E então, para v = Σx i u i , tem-se
ϕ(v) =
m∑
b ij x i x j .
i,j=1
Note que, sendo b uma matriz simétrica (como sempre suporemos
quando tratarmos de formas quadráticas), cada parcela com
i ≠ j aparece duas vezes na soma acima: uma vez como b ij x i x j e
outra vez como b ji x j x i , o que é o mesmo.
A matriz da forma quadrática ϕ na base U é, por definição, a
matriz b, nesta mesma base, da forma bilinear b tal que ϕ(v) =
b(v,v). Se a matriz de passagem p levar a base U na base U ′ , a
matriz b ′ da forma quadráticaϕna baseU ′ será dada por b ′ = p T bp.
Note que se E possuir produto interno e as bases U, U ′ forem ambas
ortonormais, a matriz p será ortogonal, logo p T = p −1 . Então
b ′ = p −1 bp. Isto confirma o que foi visto no Teorema 18.1: relativamente
a bases ortonormais a matriz da forma bilinear b coincide
com a do operador B, que lhe corresponde de maneira intrínseca.
Teorema 18.3. SejaEum espaço vetorial de dimensão finita munido
de produto interno. Dada uma forma bilinear simétricab: E×E → R,
existe uma base ortonormal U = {u 1 ,...,u m } ⊂ E tal que b(u i ,u j ) = 0
se i ≠ j.
Demonstração: Pelo Teorema 18.2, existe um operador auto-adjunto
B: E → E tal que b(u,v) = 〈u,Bv〉 para quaisquer u,v ∈ E. O
Teorema Espectral assegura a existência de uma base ortonormal
U = {u 1 ,...,u m } ⊂ E tal que Bu i = λ i u i (i = 1,...,m). Então
i ≠ j ⇒ b(u i ,u j ) = 〈u i ,Bu j 〉 = 〈u i ,λ j u j 〉 = λ j 〈u i ,u j 〉 = 0.
O teorema acima é a versão, para formas bilineares, do Teorema
Espectral. Por sua vez a versão matricial do Teorema 18.3 é a seguinte:
para toda matriz simétrica b = [b ij ] ∈ M(m×m), existe uma
matriz ortogonal p ∈ M(m×m) tal que p T bp = p −1 bp é uma matriz
diagonal. A diagonal de d = p T bp é formada pelos autovalores de
b, os quais se dizem também autovalores da forma bilinear b e da
forma quadrática ϕ(v) = b(v,v).