lgebra Linear, Elon Lages Lima

286 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
quaisquer em E, pôr
〈u,v〉 = ∑ ξ k ζ k .
Isto mostra que, como no caso real, a existência de um produto interno
hermitiano num espaço vetorial complexo de dimensão finita
não é uma propriedade adicional desse espaço mas apenas uma escolha
que se fez dentre infinitas possibilidades.
A partir da definição de produto interno hermitiano há poucas
adaptações a fazer a fim de que as restantes seções, de 10 a 20,
tenham seus resultados validados (e alguns fortalecidos, como veremos
logo mais).
Uma das modificações a fazer como conseqüência da sesqui-linearidade
do produto interno hermitiano diz respeito ao Teorema 11.1,
que passa a ter o seguinte enunciado:
Teorema 21.1. Seja E um espaço vetorial complexo de dimensão
finita, munido de um produto interno hermitiano. A correspondência
que associa a cada vetor v ∈ E o funcional linear φ(v) = v ∗ : E → C,
tal que v ∗ (w) = 〈w,v〉 para todo w ∈ E, é uma bijeção φ: E → E ∗ tal
que (u+v) ∗ = u ∗ +v ∗ e (ζv) ∗ = ζ·v ∗ para quaisquer u,v ∈ E e ζ ∈ C.
Acima, E ∗ é, como antes, o dual de E, ou seja, o espaço vetorial
complexo cujos elementos são os funcionais C-lineares f: E → C.
A diferença entre os Teoremas 11.1 e 21.1 é que, neste último, a
correspondênciav ↦→ v ∗ não é um isomorfismo entreEeE ∗ , pois falha
a condição (ζv) ∗ = ζv ∗ , em vez da qual se tem apenas (ζv) ∗ = ζv ∗ .
Com efeito, para todo w ∈ E, tem-se
(ζv) ∗ (w) = 〈w,ζv〉 = ζ〈w,v〉 = ζv ∗ (w), portanto (ζv) ∗ = ζv ∗ .
Por isso, ela se chama um anti-isomorfismo.
O Teorema 21.1 pode então ser refraseado dizendo-se que a bijeção
φ: E → E ∗ nele definida é um anti-isomorfismo.
Isto não impede de maneira nenhuma que se defina a adjunta
A ∗ : F → E de uma transformação C-linear A: E → F, entre espaços
vetoriais complexos munidos de produto interno hermitiano, como a
única transformação C-linear A ∗ : F → E tal que
〈Av,w〉 = 〈v,A ∗ w〉
para v ∈ E, w ∈ F quaisquer. Valem as propriedades (A + B) ∗ =
A ∗ + B ∗ , (BA) ∗ = A ∗ B ∗ , I ∗ = I, (A ∗ ) ∗ = A e (A ∗ ) −1 = (A −1 ) ∗ , nesta