lgebra Linear, Elon Lages Lima

144 A Adjunta Seção 11
11.28. Seja a uma matriz quadrada. Se o traço (soma dos elementos
da diagonal) de a T .a é zero, prove que a = 0.
11.29. Uma matriz quadrada a chama-se diagonalizável quando é
semelhante a uma matriz d = [d ij ] do tipo diagonal (d ij = 0 se i ≠ j),
ou seja, quando existe p invertível tal que p −1 ap = d. Prove que
se a é diagonalizável então a T também o é. Se a matriz do operador
A: E → E relativamente a uma base deEédiagonalizável, prove que
a matriz de A em relação a qualquer outra base é diagonalizável.
11.30. Prove que a adjunta de A: E → E, onde Av = 〈v,a〉b, é A ∗ v =
〈v,b〉a.
11.31. Seja f ∗ : R → E a adjunta do funcional linear f: E → R.
Prove que v = f ∗ (1) é o vetor de E que corresponde a f pelo isomorfismo
do Teorema 11.1. Prove ainda que f(f ∗ (1)) = |v| 2 e f ∗ (f(w)) =
〈w,v〉v ∀w ∈ E.
11.32. Para toda transformação linear A: E → F, entre espaços de
dimensão finita munidos de produto interno, prove que a restrição
de A à imagem de A ∗ define um isomorfismo A: Im(A ∗ ) → Im(A).
Analogamente, A ∗ transforma o subespaço Im(A) isomorficamente
sobre Im(A ∗ ). São estes isomorfismos um o inverso do outro?
11.33. Seja {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base ortonormal. Para todo operador
linear A: E → E, prove que
n∑
|Au i | 2 =
i=1
n∑
|A ∗ u i | 2 .
i=1
11.34. Seja J: F → E a inclusão do subespaço F ⊂ E, isto é, Jv = v
para todo v ∈ F. Prove que J ∗ J: F → F é o operador identidade de
F e que o operador JJ ∗ : E → E é a projeção de núcleo F ⊥ e imagem
F. (Noutras palavras, a adjunta J ∗ : E → F é esta mesma projeção,
porém considerada com contra-domínio F.)