lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 12 Subespaços Invariantes 155
12.30. Seja A: R 2 → R 2 o operador definido por A(x,y) =
[
(y,0).
] 0 1
Quais são os autovalores de A ? E os autovetores? Se a = ,
0 0
existe alguma matriz invertível p ∈ M(2×2) tal que p −1 ap seja uma
matriz diagonal?
12.31. Seja A: R 2 → R 2 o operador definido por A(x,y) = (2x −
y,x+4y). Mostre que A possui um autovalor único igual a 3 e que o
auto-subespaço E 3 (v. Exercício 12.23) tem dimensão 1. Conclua que
se
[ ] 2 −1
a =
1 4
então não existe uma matriz invertível b ∈ M(2×2) tal que b −1 ab
seja diagonal.
12.32. Seja A: R 2 → R 2 o operador definido por A(x,y) = (3x +
y,2x+2y). Mostre queApossui os autovalores 4 e 1. Ache uma base
{u,v} ⊂ R 2 tal que Au = 4u e Av = v. Dada a matriz
[ ] 3 1
a = ,
2 2
ache uma matriz invertível p ∈ M(2×2) tal que p −1 ap =
[ ] 4 0
.
0 1
12.33. Prove que todo operador linear de posto 1 em R n possui um
autovetor cujo autovalor correspondente é o traço do operador dado.
12.34. Seja p um polinômio ≠ 0 cujas raízes são todas reais. Se
p(A) = 0, prove que pelo menos uma raiz de p é autovalor do operador
A.
12.35. Se o espaço vetorial E possui uma base formada por autovetores
do operador A: E → E, prove que existe também uma base de
E formada por autovetores de A ∗ : E → E. (Veja Exercício 11.29.)
12.36. SejamA: E → E um operador linear num espaço de dimensão
finita, munido de produto interno e F ⊂ E um subespaço invariante
por A. Defina o operador B: F → F pondo Bv = Av. Mostre que, para
todo v ∈ F, se tem A ∗ v = B ∗ v+Cv, com Cv ∈ F ⊥ .