lgebra Linear, Elon Lages Lima

72 Núcleo e Imagem Seção 6
espaço vetorial E, estabeleça um isomorfismo entre F(X;E) e E n =
E×···×E (n fatores).
6.31. Dados os números reais a = a o < a 1 < ··· < a n = b, considere
o conjunto E 1 ⊂ F([a,b];R) formado pelas funções f: [a,b] → R que,
em cada intervalo fechado [a i−1 ,a i ], i = 1,...,n, são representadas
por polinômios de grau ≤ 1, isto é, f(x) = α i x + β i para a i−1 ≤ x ≤
a i . Prove que E 1 é um subespaço vetorial e que a correspondência
f ↦→ (f(a o ),...,f(a n )) é um isomorfismo entre E 1 e R n+1 . Conclua
que dim E 1 = n + 1. Descreva a base de E 1 que corresponde à base
canônica de R n+1 .
6.32. Com a notação de exercício anterior, seja E 2 o conjunto das
funções deriváveis f: [a,b] → R cujas restrições aos intervalos
[a i−1 ,a i ], i = 1,...,n, são polinômios de grau ≤ 2. Considerando
a derivação D: E 2 → E 1 , prove que E 2 ⊂ F([a,b];R) é um subespaço
vetorial de dimensão n+2.
6.33. Sejam E um espaço vetorial de dimensão finita, E ∗ = L(E;R)
seu dual e E ∗∗ = L(E ∗ ;R) seu bi-dual. Considere a correspondência
ξ: E → E ∗∗ , que associa a cada vetorv ∈ E o elementoξ(v) = v ∗∗ ∈ E ∗∗
tal que v ∗∗ (f) = f(v) para todo v ∈ E. Prove que ξ é um isomorfismo.
[Este exercício significa quef(v) pode ser considerado como um valor
da função f de variável v ou da função v (mais exatamente, v ∗∗ ) de
variável f.]
6.34. Seja f: E → R um funcional linear não-nulo no espaço vetorial
E, de dimensão n. Prove que existe uma base {u 1 ,...,u n } ⊂ E tal
que f(u 1 ) = ··· = f(u n−1 ) = 0 e f(u n ) = 1. Use este fato para provar
que se g: E → R é outro funcional linear não-nulo então existe um
isomorfismo A: E → E tal que g = f◦A.
6.35. Dado o funcional linear não-nulo f: E → R, prove que existe
um vetoru ∈ E tal quef(u) = 1. SejaF ⊂ E o subespaço (reta) gerado
por u. Prove que E = F⊕N(f).
6.36. Sejam f,g: E → R funcionais lineares não-nulos no espaço
vetorial E, de dimensão finita. Prove que um deles é múltiplo do
outro se, e somente se, eles têm o mesmo núcleo.
6.37. Supondo Y ⊂ X, descreva o núcleo e a imagem da transformação
linear R: F(X;R)→F(Y;R), que associa a cada função f: X→R
sua restrição Rf = f|Y: Y → R.