lgebra Linear, Elon Lages Lima

188 Operadores Ortogonais Seção 14
14.23. Seja v = (a,b,c) um vetor unitário diferente de ±e 3 . Mostre
que existe x tal que a matriz abaixo é ortogonal:
⎡ ⎤
a b c
⎣ bx −ax 0 ⎦ .
acx bcx −1/x
14.24. Um operador auto-adjunto N: E → E chama-se negativo
quando 〈Nv,v〉 < 0 para todo v ≠ 0 em E. Determine a (única) decomposição
polar de um operador negativo N.
14.25. Prove que os elementos da diagonal de uma matriz negativa
são números negativos.
[ ] −34 12
14.26. Prove que a matriz abaixo é negativa .
12 −41
[ ] 2 2
14.27. Ache a decomposição polar da matriz .
2 −1
14.28. Sejam a ∈ M(r × r) e c ∈ M(s × s) matrizes ortogonais.
Prove que a matriz (r+s)×(r+s) abaixo é ortogonal se, e somente
se, b = 0: [ ] a b .
0 c
14.29. Obtenha a decomposição polar da matriz
⎡ √ ⎤ 2 1 1
⎣− √ 2 1 1 ⎦ .
0 1 −1