lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 173
13.32. Prove que a norma espectral, definida no Exercício 13.18, tem
as propriedades
||A+B|| ≤ ||A||+||B|| e
||BA|| ≤ ||B||||A||.
Dê exemplo de um operador A: R 2 → R 2 para o qual se tem
||A 2 || < ||A|| 2 .
13.33. Prove que a norma |A| = √ tr(A ∗ A), proveniente do produto
interno introduzido no Exercício 11.17, cumpre a desigualdade
|BA| ≤ |B||A|.
13.34. Seja A: E → E auto-adjunto. Se u ∈ E é tal que Au ≠ 0 e
〈Au,u〉 = 0, mostre que existem v,w ∈ E com 〈Av,v〉 > 0 e 〈Aw,w〉 <
0. Deduza daí o Cor. 1 do Teor. 13.7 sem usar o Teorema Espectral.
(Sugestão: considere tu+Au para valores convenientes de t.)