lgebra Linear, Elon Lages Lima

226 Formas Quadráticas Seção 18
Embora transformações lineares e formas bilineares sejam ambas
representáveis por matrizes (quando são fixadas bases), vemos
que, ao mudarem essas bases, a matriz de uma forma bilinear se
altera de maneira diferente daquela de uma transformação linear.
Quando E = F, nos referiremos sempre (salvo aviso em contrário)
à matriz de uma forma bilinear b: E×E → R relativamente a uma
única baseU = {u 1 ,...,u m } ⊂ E. Essa matriz é b = [b ij ] ∈ M(m×m),
onde b ij = b(u i ,u j ).
Se b ′ é a matriz da mesma formabem relação a outra baseU ′ ⊂ E
então b ′ = p T bp, onde p é a matriz de passagem da base U para
a base U ′ . A correspondência b ↦→ b define um isomorfismo entre
B(E × E) e M(m × m), estabelecido com ajuda da base U. Dados
u = Σx i u i e v = Σy i u i em E, se a matriz de b na base U é b = [b ij ],
tem-se
m∑
b(u,v) = b ij x i y j .
i,j=1
Assim, b(u,v) é um polinômio homogêneo do 2 ō grau em relação
às coordenadas de u e v.
Uma forma bilinear b: E × E → R chama-se simétrica quando
b(u,v) = b(v,u) para quaisquer u,v ∈ E. Para que b seja simétrica
é suficiente que sua matriz em relação a uma base U ⊂ E seja
simétrica e é necessário que sua matriz em relação a qualquer base
de E seja simétrica. Com efeito, se b ij = b ji então
b(v,u) = ∑ i,j
b ij y i x j = ∑ i,j
b ij x j y i
= ∑ i,j
b ji x j y i = ∑ α,β
b αβ x α y β = b(u,v).
Observação. O quarto sinal de igualdade na seqüência acima faz
uso de uma manipulação que pode parecer desonesta mas é perfeitamente
correta. O princípio é o seguinte: num somatório, o nome
do “índice de somação”, ou “índice mudo”, não tem a menor importância:
m∑ m∑ m∑
z i = z α = z r = z 1 +···+z m .
i=1
α=1
r=1