lgebra Linear, Elon Lages Lima

234 Formas Quadráticas Seção 18
Voltemos à expressão ϕ(v) = Σb ij x i x j , onde podemos agora supor
que algum b ii ≠ 0. Mudando, se necessário, a numeração das
variáveis (o que equivale a mudar a ordem dos vetores da base), podemos
admitir que b 11 ≠ 0. Então escrevemos
⎛ ⎞
ϕ(v) = b 11
⎝x 2 1 +2x 1 ·∑
c j x j
⎠+ψ(v ′ ),
j≥2
onde c j = b 1j /b 11 e ψ(v ′ ) depende apenas de
v ′ = ∑ j≥2
x j u j ,
ou seja, ψ é uma forma quadrática definida no subespaço F ⊂ E,
de dimensão m − 1, gerado por u 2 ,...,u m . A expressão dentro dos
parênteses acima é do tipo a 2 +2ab, logo é igual a (a+b) 2 −b 2 , onde
a = x 1 e
b = ∑ j≥2
c j x j .
Assim, a mudança de variáveis
z 1 = x 1 + ∑ j≥2
c j x j , z 2 = x 2 ,...,z m = x m
ou, equivalentemente,
x 1 = z 1 − ∑ j≥2
c j z j , x 2 = z 2 ,...,x m = z m ,
mostra que a expressão dentro dos parênteses acima é igual a
⎛ ⎞
z 2 1 − ⎝ ∑ 2
c j z j
⎠ ,
j≥2
portanto
⎛
ϕ(v) = b 11 z 2 1 −b ⎝ ∑ 11
j≥2
c j z j
⎞
⎠
2
+ψ(v ′ )