lgebra Linear, Elon Lages Lima

64 Núcleo e Imagem Seção 6
elementos desta base. Poremos B(Av 1 ) = v 1 ,...,B(Av n ) = v n , Bw 1 =
0,...,Bw k = 0. Dado qualquer v ∈ E, tem-se v = α 1 v 1 + ··· + α n v n ,
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BAv = B(α 1 Av 1 +···+α n Av n )
= α 1 BAv 1 +···+α n BAv n
= α 1 v 1 +···+α n v n = v,
portanto B é uma inversa à esquerda de A.
Uma transformação linear A: E → F chama-se invertível quando
existe B: F → E linear tal que BA = I E e AB = I F , ou seja, quando B
é, ao mesmo tempo, inversa à esquerda e à direita de A.
Neste caso, diz-se que B é a inversa de A e escreve-se B = A −1 .
A fim de que a transformação linear A seja invertível, é necessário
e suficiente que ela seja injetiva e sobrejetiva. Diz-se, então,
que A é uma bijeção linear entre E e F ou, mais apropriadamente,
que A: E → F é um isomorfismo e que os espaços vetoriais E e F são
isomorfos.
Se A: E → F e B: F → G são isomorfismos, então A −1 : F → E e
BA: E → G também são isomorfismos. Tem-se (BA) −1 = A −1 B −1 e,
para α ≠ 0, (αA) −1 = 1 α ·A−1 .
Um isomorfismo A: E → F entre espaços vetoriais transforma
toda base de E numa base de F. Reciprocamente, se uma transformação
linear A: E → F leva alguma base de E numa base de F então
A é um isomorfismo.
Do que foi dito acima resulta, em particular, que dois espaços
vetoriais de dimensão finita isomorfos têm a mesma dimensão. A
recíproca é verdadeira, como veremos agora.
Com efeito, seja E um espaço vetorial de dimensão finita n. Fixando
uma base {v 1 ,...,v n } ⊂ E, podemos definir uma transformação
linear A: R n → E pondo, para cada v = (α 1 ,...,α n ) ∈ R n ,
Av = α 1 v 1 + ··· + α n v n . Tem-se Ae 1 = v 1 ,...,Ae n = v n . Assim, A
transforma a base canônica{e 1 ,...,e n } ⊂ R n na base{v 1 ,...,v n } ⊂ E,
logo é um isomorfismo entre R n e E.
Noutras palavras, todo espaço vetorial de dimensão n é isomorfo
a R n .
Como o inverso A −1 : E → R n e o produto BA −1 : E → F de A por
outro isomorfismo B: R n → F são isomorfismos, segue-se que dois
espaços vetoriais E, F, ambos de dimensão n, são isomorfos.