lgebra Linear, Elon Lages Lima

86 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
(a 1 ,...,a n ), são isomorfismos entre M(1 × n), (R n ) ∗ e R n , determinados
pela base canônica de R n .
Entre transformações lineares, além das operações A + B e αA,
existe também a multiplicação BA. O isomorfismo ϕ faz corresponder
ao produto BA o produto ba das matrizes de B e de A, segundo
definiremos a seguir.
Sejam u = (α 1 ,...,α n ) e v = (β 1 ,...,β n ) vetores em R n . O produto
interno de u por v é definido como o número
〈u,v〉 = α 1 β 1 +···+α n β n .
A noção geral de produto interno, suas propriedades e aplicações
serão estudadas na Seção 10. Um caso particular será usado agora
para introduzir o produto de duas matrizes.
Sejam b = [b ij ] ∈ M(m × n) e a = [a ij ] ∈ M(n × p) matrizes
tais que o número de colunas de b é igual ao número de linhas de
a. O produto da matriz b pela matriz a (nesta ordem) é a matriz
ba = c = [c ij ] ∈ M(m×p), cujo ij-ésimo elemento
c ij = b i1 a 1j +b i2 a 2j +···+b in a nj =
n∑
b ik a kj
é o produto interno do i-ésimo vetor-linha de b pelo j-ésimo vetorcoluna
de a.
Exemplo 8.3. Uma transformação linear A: R n → R m pode ser
interpretada como uma multiplicação de matrizes: em vez de A ∈
L(R n ;R m ) considera-se sua matriz a = [a ij ] ∈ M(m × n). Em particular,
os funcionais lineares f: R n → R são substituídos por matrizes
1 × n, ou seja, por vetores-linha. Além disso, os vetores x =
(x 1 ,...,x n ) ∈ R n e b = (b 1 ,...,b m ) passam a ser considerados como
matrizesn×1 em×1 respectivamente, ou seja, como vetores-coluna.
Então a igualdade Ax = b passa a ser escrita sob a forma ax = b,
isto é: ⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤
a 11 ··· a 1n x 1 b 1
a 21 ··· a 2n
x 2
⎢ ⎥⎢
⎥
⎣ . . . ⎦⎣
. ⎦ = b 2
⎢ ⎥
⎣ . ⎦ .
a m1 ··· a mn x n b m
Dentro deste ponto de vista, a Álgebra Linear se reduz ao cálculo
de matrizes, o que traz vantagens sob o aspecto computacional mas
k=1