lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 317
22.6. Sejam λ e µ as raízes características (reais ou complexas) do
operador A: R 2 → R 2 . Suponha que |λ| < 1 e |µ| < 1. Seja qual
for o valor inicial v o = (x o ,y o ), prove que a solução v k = (x k ,y k ) do
sistema v k+1 = Av k cumpre lim x k = 0, lim y k = 0.
22.7. Sejam r = (x o ,...,x k ,...) e s = (y o ,...,y k ,...) soluções da
equação z k+2 +az k+1 +bz k = 0. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se r e s são L.I. então, para quaisquer índices k ≠ l, os vetores
u = (x k ,x l ) e v = (y k ,y l ) são L.I.
( ) Se existirem k ≠ l tais que os vetores u = (x k ,x l ) e v = (y k ,y l )
são L.I. então as soluções r e s são L.I.
( ) Se, para todo k ≥ 0, os vetores u = (x k ,x k+1 ) e v = (y k ,y k+1 )
forem L.D. então r e s são L.D.
( ) Se r e s são L.D. então u = (x k ,x l ) e v = (y k ,y l ) são L.D., sejam
quais forem k e l.
22.8. Sejam r=(x o ,...,x k ,...), s=(y o ,...,y k ,...), t=(z o ,...,z k ,...)
soluções da equação w k+3 +aw k+2 +bw k+1 +c k w k = 0. Prove:
(a) Se existirem k < l < m tais que os vetores v = (x k ,x l ,x m ),
v ′ = (y k ,y l ,y m ) e v ′′ = (z k ,z l ,z m ) são L.I. então as seqüências
r, s e t são L.I. .
(b) Se r, s e t são L.I. então existe k ≥ 0 tal que os vetores
v=(x k ,x k+1 ,x k+2 ), v ′ =(y k ,y k+1 ,y k+2 ) e v ′′ =(z k ,z k+1 ,z k+2 )
são L.I. .
22.9. Prove que as seqüências r = (1,2,3,4,0,0,...), s = (1,2,3,1,
0,0,...) e t = (1,0,0,3,0,0,...) não podem ser soluções da mesma
equaçãox k+3 +ax k+2 +bx k+1 +cx k = 0. [Sugestão: item (b) do exercício
anterior.]
22.10. Seja E: R ∞ → R ∞ o operador linear definido por
E(x o ,x 1 ,...,x k ,...) = (x 1 ,x 2 ,...,x k+1 ,...).