lgebra Linear, Elon Lages Lima

6 Espaços Vetoriais Seção 1
1.6. Dados os vetores v 1 = (1,2,1), v 2 = (2,1,2), v 3 = (3,3,2) e
v 4 = (1,5,−1) em R 3 , determine os vetores u = v 1 − 3v 2 + 2v 3 − v 4 ,
v = v 1 +v 2 −v 3 −v 4 e w = v 3 − 1 3 v 2 − 4 3 v 1.
1.7. Considere a seguinte afirmação: “Num espaço vetorial E existe
um único vetor nulo e cada elemento de E possui um único inverso”.
Qual fato demonstrado nesta seção assegura que esta afirmação é
verdadeira?
1.8. Use os axiomas do espaço vetorial E para provar que, se v ∈ E e
n é um número natural então n·v = v+···+v (n parcelas).
1.9. Sejam u, v vetores não-nulos do espaço vetorial E. Prove que v é
múltiplo de u se, e somente se, u é múltiplo de v. Que se pode dizer
caso não suponhamos u e v ambos diferentes de zero?
1.10. Sejam u = (x 1 ,...,x n ) e v = (y 1 ,...,y n ) vetores em R n . Prove
que um deles é múltiplo do outro se, e somente se, x i y j = x j y i para
quaisquer i,j = 1,...,n.
1.11. Use as relações 2(u + v) = 2u + 2v, 2w = w + w para provar
que a comutatividade u + v = v + u pode ser demonstrada a partir
dos demais axiomas de espaço vetorial.
1.12. EmR 2 , mantenhamos a definição do produtoαv de um número
por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição
da soma u + v dos vetores u = (x,y) e v = (x ′ ,y ′ ). Em cada
tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos
e quais são violados:
(1) u+v = (x+y ′ ,x ′ +y);
(2) u+v = (xx ′ ,yy ′ );
(3) u+v = (3x+3x ′ ,5x+5x ′ ).
1.13. Defina a média u∗v entre dois vetores u, v no espaço vetorial
E pondo u ∗ v = 1 2 u + 1 2v. Prove que (u ∗ v) ∗ w = u ∗ (v ∗ w) se, e
somente se, u = w.
1.14. Dados os espaços vetoriais E 1 , E 2 , considere o conjunto E =
E 1 × E 2 (produto cartesiano de E 1 por E 2 ), cujos elementos são os
pares ordenados v = (v 1 ,v 2 ), com v 1 ∈ E 1 e v 2 ∈ E 2 . Defina operações
que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um
dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de