lgebra Linear, Elon Lages Lima

28 Bases Seção 3
completar a indução, suponhamos o lema verdadeiro para um sistema
com m − 1 equações. Mudando, se necessário, a ordem das
equações e os nomes das incógnitas, podemos admitir que, no sistema
(*) dado, tem-se a mn ≠ 0. Então da m-ésima equação resulta
(
am1
x n = − x 1 +···+ a )
mn−1
x n−1 .
a mn a mn
Substituindo, em cada uma dasm−1 primeiras equações, a incógnita
x n por este valor, obtemos um sistema homogêneo de m−1 equações
nas n−1 incógnitas x 1 ,...,x n−1 . Pela hipótese de indução, este
sistema admite uma solução não-trivial (α 1 ,...,α n−1 ), pois n −1 >
m−1. Pondo
(
am1
α n = − α 1 +···+ a )
mn−1
α n−1 ,
a mn a mn
obtemos uma solução não-trivial (α 1 ,...,α n−1 ,α n ) do sistema proposto
(*).
Teorema 3.3. Se os vetores v 1 ,...,v m geram o espaço vetorial E
então qualquer conjunto com mais de m vetores em E é L.D.
Demonstração: Dados os vetores w 1 ,...,w n em E, com n > m,
para cada j = 1,...,n temos w j = α 1j v 1 +···+α mj v m pois os vetores
v 1 ,...,v m geram E. Para mostrar que os vetores w j são L.D., devemos
achar coeficientes x 1 ,...,x n , não todos iguais a zero, tais que
x 1 w 1 + ··· + x n w n = 0. Substituindo os w j por suas expressões em
termos dos v i , esta igualdade significa que
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
n∑ n∑
n∑
⎝ x j α 1j
⎠v 1 + ⎝ x j α 2j
⎠v 2 +···+ ⎝ x j α mj
⎠v m = 0.
j=1
j=1
Certamente esta última condição será satisfeita desde que todos os
somatórios dentro dos parênteses sejam nulos, ou seja, que
(x 1 ,...,x n ) seja uma solução não-trivial do sistema homogêneo
j=1
α 11 x 1 +α 12 x 2 +···+α 1n x n = 0
α 21 x 1 +α 22 x 2 +···+α 2n x n = 0
.
α m1 x 1 +α m2 x 2 +···+α mn x n = 0.