lgebra Linear, Elon Lages Lima

Apêndice A Forma Canônica de Jordan 331
Exemplo A2.1. Vamos usar a forma canônica de Jordan para provar
que toda matriz invertível possui uma raiz quadrada (complexa).
Preliminarmente observamos que se x é uma raiz quadrada de
p −1 ap então pxp −1 é uma raiz quadrada de a, pois
(pxp −1 ) 2 = pxp −1 pxp −1 = px 2 p −1 = p(p −1 ap)p −1 = a.
Portanto, ao provar a existência da raiz quadrada de uma matriz
invertível, não há perda de generalidade em supor que essa matriz
está na forma canônica de Jordan, que é uma forma triangular
particular. Em virtude da invertibilidade, os elementos da diagonal
(auto-valores) são todos diferentes de zero.
Trataremos explicitamente do caso 4×4, deixando para o leitor
o caso 3 × 3 (mais simples) e o caso geral (mais complicado, porém
suscetível da mesma abordagem).
Temos então uma matriz da forma
⎡ ⎤
a 0 0 0
a = ⎢b c 0 0
⎥
⎣0 d e 0⎦ ,
0 0 f g
com a, c, e, g diferentes de zero, e procuramos uma matriz
⎡ ⎤
x 0 0 0
x = ⎢y z 0 0
⎥
⎣m n p 0⎦
q r s t
tal que x 2 = a. Ora, um cálculo simples nos dá
⎡
x 2 ⎤
0 0 0
x 2 = ⎢ y(x+z) z 2 0 0
⎥
⎣ m(x+p)+ny n(z+p) p 2 0⎦ .
q(x+t)+ry+ms r(z+t)+ns s(p+t) t 2
Portanto as incógnitas x, y, z, m, n, p, q, r, s e t devem satisfazer
as condições
(1) x 2 = a, z 2 = c, p 2 = e, t 2 = g,
(2) y(x+z) = b, n(z+p) = d, s(p+t) = f,