lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 219
sim como obter a decomposição a = lu a partir da decomposição de
Cholesky a = t T .t.
A expressão u = dt mostra, em particular que se a matriz a é
positiva então, em sua decomposição a = lu, os elementos u ii da
diagonal de u (isto é, os pivôs da eliminação gaussiana) são todos
positivos. A unicidade da decomposição lu implica que esses pivôs
são univocamente determinados a partir da matriz a.
Mostremos agora como se pode obter a decomposição de Cholesky
de uma matriz positiva a partir de sua decomposição a = lu.
Como u ii > 0 para i = 1,...,m, podemos formar uma matriz
diagonal d = [d ij ] pondo d ij = 0 se i ≠ j e d ii = √ u ii . Então escrevemos
t = d −1 u. Evidentemente, a = (ld)(d −1 u). Portanto teremos a
decomposição de Cholesky a = t T .t desde que provemos que t T = ld,
ou seja, que u T .d −1 = ld.
Ora, se tomarmos a transposta de ambos os membros da igualdade
a = lu obteremos a = a T = u T l T , logo podemos escrever
a = u T .d −2 .d 2 .l T . Mas u T .d −2 é triangular inferior com 1’s na diagonal.
(Na realidade, d foi definida com esse propósito.) E d 2 l T é triangular
superior. Pela unicidade da decomposição a = boldlu, vem
u T .d −2 = l (e d 2 .l T = u). Daí resulta u T .d −1 = ld, como queríamos
provar.
Em suma: se a = lu é a decomposição de uma matriz positiva,
sua decomposição de Cholesky é a = (ld)(d −1 u), onde d é a
matriz diagonal formada pelas raízes quadradas dos elementos (necesssariamente
positivos) da diagonal de u. Isto nos dá um método
prático para obter a decomposição de Cholesky, como veremos no
Exemplo 17.3.
Observação O argumento acima prova, na realidade, que se a é
uma matriz simétrica cujos pivôs são todos positivos então existe
uma decomposição a = t T .t, logo a é uma matriz positiva. (Observe
que, os pivôs sendo positivos, a matriz a é invertível.)
Exemplo 17.3. Como exemplo de matriz positiva, tomemos a matriz
de Gram dos vetores u = (1,2,1), v = (2,1,2), w = (1,1,2). Escalonando-se,
obtemos
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
6 6 5
⎣6 9 7
5 7 6
⎦ L 2−L 1
−→
L 3 − 5 6 L 1
6 6 5
⎣0 3 2
0 2 11/6
⎦ L 3− 2 3 L 2
−→
6 6 5
⎣0 3 2 ⎦
0 0 1/2