lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 257
Neste último somatório, são nulas as parcelas em que há repetições
entre os índices i 1 ,i 2 ,...,i n , restando apenas aquelas em que
(i 1 ,i 2 ,...,i n ) = (ρ(1),ρ(2),...,ρ(n))
é uma permutação dos inteiros 1,2,...,n. Neste caso,
a i1 1 ·a i2 2 ·...·a inn = a 1σ(1) ·a 2σ(2) ·...·a nσ(n) ,
onde σ = ρ −1 e a parcela correspondente é igual a
a 1σ(1) ·a 2σ(2) ·...·a nσ(n) f 0 (e ρ(1) ,...,e ρ(n) ).
Por conseguinte, levando em conta que ε σ = ε ρ , tem-se:
det a = ∑ σ
ε σ a 1σ(1) ·a 2σ(2) ·...·a nσ(n) , (*)
o somatório sendo estendido a todas as permutações σ dos inteiros
1,2,...,n.
Voltando à expressão anterior (*), podemos escrever
det a = ∑ ρ
ε ρ a ρ(1)1 ·a ρ(2)2 ...a ρ(n)n .
Esta igualdade mostra que o determinante da matriz a é igual
ao determinante da sua transposta a T .
Se A: E → E é um operador num espaço vetorial munido de produto
interno e a é sua matriz numa base ortonormal então
det A = det a = det a T = det A ∗ .
Resulta da igualdade det a = det a T que o determinante é
uma função n-linear alternada das linhas da matriz a ∈ M(n×n).
(A única tal que det I n = 1.) Como no caso de colunas, uma qualquer
função n-linear alternada f das linhas da matriz a é da forma
f(a) = c·det a, onde c = f(I n ) = f(e 1 ,...,e n ).
Outra conseqüência da igualdade det A = det A ∗ é que o determinante
de um operador ortogonal A é igual a ±1, pois
(det A) 2 = det A ∗ · det A = det(A ∗ A) = det I = 1.