lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 6 Núcleo e Imagem 65
Exemplo 6.8. O espaço P n , dos polinômios de grau ≤ n, tem dimensãon+1,
logo é isomorfo aR n+1 . Por sua vez, o espaçoM(m×p),
das matrizes m × p, é isomorfo a R mp , portanto P n é isomorfo a
M(m×p) se, e somente se, n+1 = mp.
A noção de isomorfismo entre espaços vetoriais é fundamental .
Ela nos permite identificar, sob o ponto de vista da Álgebra Linear,
espaços vetoriais que se apresentam sob formas à primeira
vista diferentes. Por exemplo, a correspondência (a o ,...,a n ) ↔ a o +
a 1 x + ··· + a n x n , é um isomorfismo natural entre R n+1 e P n , que
desempenha papel relevante em Análise.
Noutro exemplo, se dispusermos os elementos de uma matrizn×
n em fileiras paralelas à sua diagonal principal, veremos que há um
total de
n+(n−1)+···+2+1 = n(n+1)
2
elementos nesta diagonal ou acima dela. Colocando esses elementos
numa linha, em ordem determinada, obtemos um vetor de R n(n+1)/2 .
Se a matriz dada é simétrica, os elementos abaixo da diagonal não
são necessários para determiná-la pois apenas repetem os demais.
Este processo estabelece um isomorfismo entre o espaço vetorial
S das matrizes simétricas n × n e o espaço euclidiano R n(n+1)/2 ,
o que nos permite concluir que dim S = n(n+1)/2 . Um isomorfismo
análogo (desprezando a diagonal principal que, neste caso, só
contém zeros) mostra que as matrizes anti-simétricas n×n formam
um espaço vetorial de dimensão n(n−1)/2.
Teorema 6.6. (Teorema do Núcleo e da Imagem.) Sejam E, F
espaços vetoriais de dimensão finita. Para toda transformação linear
A: E → F tem-se dim E = dim N(A)+dim Im(A).
Demonstração: O teorema resulta imediatamente da seguinte
afirmação mais precisa, que provaremos a seguir: se {Au 1 ,...,Au p }
é uma base de Im(A) e {v 1 ,...,v q } é uma base de N(A) então
{u 1 ,...,u p , v 1 ,...,v q } é uma base de E.
Com efeito, em primeiro lugar, se tivermos
α 1 u 1 +···+α p u p +β 1 v 1 +···+β q v q = 0 (*)
então, aplicando o operador A a ambos os membros desta igualdade
e lembrando que v 1 ,...,v q pertencem ao núcleo de A, obtemos
α 1 Au 1 +···+α p Au p = 0.