lgebra Linear, Elon Lages Lima

256 Determinantes Seção 19
Tradicionalmente, o determinante de uma matriz a = [a ij ] ∈
M(n×n) é definido como a soma de n! parcelas do tipo
±a 1j1 a 2j2 ···a njn .
Essas parcelas são produtos de n fatores que pertencem a linhas
e colunas diferentes de a. A ordem em que os fatores são dispostos
é a ordem crescente dos índices 1,2,...,n das linhas. Os segundos
índices (das colunas) exibem uma permutação σ = (j 1 ,...,j n ) dos
inteiros 1,2,...,n. O sinal que precede cada parcela é + ou −,
conforme a permutação σ seja par ou ímpar respectivamente. Noutras
palavras, a definição clássica do determinante é
det a = ∑ σ
ε σ ·a 1σ(1) ·a 2σ(2) ·...·a nσ(n) ,
o somatório sendo estendido a todas as permutações σ dos inteiros
1,2,...,n, com ε σ = 1 se σ é par e ε σ = −1 se σ é ímpar.
Para obter esta expressão, consideremos mais uma vez a forma
f o ∈ A n (R n ) tal que f o (e 1 ,...,e n ) = 1, logo f o (e σ(1) ,...,e σ(n) ) = ε σ
para toda permutação σ dos inteiros 1,2,...,n.
Dada a matriz a = [a ij ] = [v 1 ,...,v n ] ∈ M(n×n), temos
n∑
v 1 = a i1 1e i1 ,
v 2 =
i 1 =1
n∑
a i2 2e i2 ,
i 2 =1
logo
v n =
det a = f o (v 1 ,...,v n )
⎛
n∑
= f o
⎝ a i1 1e i1 ,
=
n∑
i 1 =1
i 1 ,...,i n=1
.
n∑
a inne in ,
i n=1
n∑
a i2 2e i2 ,...,
i 2 =1
n∑
i n=1
a inne in
⎞
⎠
a i1 1a i2 2 ·...·a inn ·f o (e i1 ,e i2 ,...,e in ).