lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 261
Segue-se daí que se a matriz a é invertível (isto é, se det a ≠ 0)
então sua inversa se exprime como
a −1 = 1
det a
· adj a.
Esta fórmula para a −1 também pode ser obtida com auxílio da
Regra de Cramer. Com efeito, o problema de obter uma matriz a −1 =
[w 1 ,...,w n ] tal que aa −1 = I n pode ser considerado como n sistemas
de equações lineares a·w j = e j (j = 1,...,n). Pela Regra de Cramer,
a solução w j = (x 1j ,...,x nj ) de cada um desses sistemas é dada por
x ij = det a[i;e j]
det a
= (−1) i+j det M ji ,
pois a[i;e j ] = [v 1 ,...,v i−1 ,e j ,v i+1 ,...,v n ] se a = [v 1 ,...,v n ].
Uma submatriz da matriz a ∈ M(m×n) é uma matriz obtida a
partir de a pela omissão de algumas de suas linhas e/ou colunas.
Mais precisamente, dois subconjuntos
e
R = {i 1 < ··· < i r } ⊂ {1,2,...,m}
S = {j 1 < ··· < j s } ⊂ {1,2,...,n}
determinam a submatriz a RS = [a iαj β
] ∈ M(r×s) da matriz a, obtida
pela omissão das linhas de a cujos índices não pertencem a R e das
colunas cujos índices não estão em S.
Teorema 19.9. O posto de uma matriz a ∈ M(m × n) é o maior
número r tal que a possui uma submatriz a RS ∈ M(r × r), com
det a RS ≠ 0.
Demonstração: Seja r o posto de a = [v 1 ,...,v n ]. Existe S = {j 1 <
··· < j r } ⊂ {1,2,...,n} tal que {v j1 ,...,v jr } é L.I., portanto a matriz
[v j1 ,...,v jr ] ∈ M(m×r) tem posto r. Como o posto segundo linhas é
igual ao posto segundo colunas (Teorema 8.2), existe um subconjunto
R = {i 1 < ··· < i r } ⊂ {1,2,...,m} tal que as linhas de[v j1 ,...,v jr ] cujos
índices pertencem a R são L.I. . Isto significa que a matriz quadrada
a RS ∈ M(r × r) é invertível, logo det a RS ≠ 0. Mas é claro que o
posto de uma submatriz de a é menor do que ou igual ao posto de
a. Portanto, nenhuma submatriz k × k de a, com k > r, pode ter
determinante ≠ 0.