lgebra Linear, Elon Lages Lima

150 Subespaços Invariantes Seção 12
seja um autovalor de A é necessário e suficiente que o operador
A−λI: E → E não possua inverso.
Exemplo 12.4. Um caso particular importante ocorre quando
dim E = 2. Vimos no Exemplo 2.6 que se {u,v} ⊂ E é uma base
então os vetores αu+βv e γu+δv são linearmente dependentes se,
e somente se, αδ − βγ = 0. Dados o operador A: E → E e a base
{u,v} ⊂ E, sejam Au = au+cv e Av = bu+dv. Noutras palavras, a
matriz do operador A na base {u,v} é
[ ] a b
.
c d
Então (A−λI)u = (a−λ)u+cv e (A−λI)v = bu+(d−λ)v. A fim de
queA−λI não seja invertível é necessário e suficiente que os vetores
(A−λI)u e (A−λI)v sejam L.D., ou seja, que (a−λ)(d−λ)−bc = 0,
ou ainda, que λ seja raiz do polinômio
p(λ) = λ 2 −(a+d)λ+ad−bc,
chamado o polinômio característico do operador A.
Portanto, o número real λ é um autovalor do operador A: E → E,
onde dim E = 2, se, e somente se, é uma raiz do polinômio característico
do operador A, o qual, por definição, é p(λ) = λ 2 −(a+d)λ+
ad−bc. Os coeficientes dep(λ) são tirados da matriz deAem relação
a uma base qualquer de E.
Observação. A matriz do operador A muda quando se passa de
uma base para outra. Mas o polinômio p(λ) (isto é, as expressões
a+d e ad−bc, que são seus coeficientes) permanece (isto é, permanecem)
sem alteração. Isto será provado na Seção 20. No presente
caso (dim E = 2), é claro que a+d = traço de A, logo independe da
base escolhida. [ Quanto ] ao coeficiente ad − bc (o determinante da
a b
matriz a = ), vide o Exercício 12.7.
c d
Exemplo 12.5. No caso da rotação R: R 2 → R 2 , R(x,y) = (x cos θ−
y sen θ,xsen θ + y cos θ), temos a = cos θ, b = − sen θ, c = sen θ,
d = cos θ, logo o polinômio característico de R é
p(λ) = λ 2 −(2 cos θ)λ+1.