lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Seção 10 Produto Interno 129 na base canônica é I n − 2a. Mostre que para todo v ∈ R n tem-se Hv = v−2〈v,u〉u e conclua que |Hv| = |v|. 10.8. Num espaço vetorial com produto interno, o ângulo entre dois vetores não-nulos u, v é, por definição, o ângulo θ =
130 Produto Interno Seção 10 defina, para u = (x 1 ,...,x n ) e v = (y 1 ,...,y n ), um produto interno em R n . Prove que a 11 > 0,...,a nn > 0. 10.17. Calcule três produtos internos entre os vetores u = (1,0,−1), v = (4,1,4), w = (−3,24,−3) e conclua que eles são linearmente independentes. 10.18. Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto {u,v,w} ⊂ R 3 é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois. (a) u = (1,2,1), v = (1,−1,1), w = (−1,1,2). (b) u = (a,b,c), v = (−b,a,0), w = (−ac,−bc,a 2 +b 2 ). (c) u = 1 7 (2,6,3), v = 1 7 (3,2,−6), w = 1 7 (6,−3,2). 10.19. Seja 〈 , 〉 um produto interno no espaço vetorial F. Dado um isomorfismo A: E → F, ponha [u,v] = 〈Au,Av〉 para quaisquer u,v ∈ E. Prove que [ , ] é um produto interno em E. 10.20. Dados os vetores u = (2,−1,2), v = (1,2,1) e w = (−2,3,3), determine o vetor deR 3 que é a projeção ortogonal dewsobre o plano gerado por u e v. 10.21. Qual é a base ortonormal deR 3 obtida pelo processo de Gram- Schmidt a partir da base {u,v,w}, onde u = (2,6,3), v = (−5,6,24) e w = (9,−1,−4)? 10.22. Mesma pergunta do exercício anterior para u = (3,4,12), v = (7,−8,15) e w = (−15,6,44). 10.23. Para todo número natural n, prove que a norma do vetor v = (n,n+1,n(n+1)) ∈ R 3 é um número natural. 10.24. Aplicando o processo de Gram-Schmidt a um conjunto de vetores v 1 ,...,v m cuja independência linear não é conhecida, prove que se obtém o primeiro vetor w r+1 = 0 quando v 1 ,...,v r são L.I. mas v r+1 é combinação linear de v 1 ,...,v r . 10.25. Fixado o vetor unitário u = (a 1 ,...,a n ) ∈ R n , seja P: R n → R n o operador linear definido por Pv = pr u (v) = projeção ortogonal de v sobre o eixo de u. Mostre que P 2 = P, determine o núcleo de P, as matrizes de P, de I − P e da reflexão ortogonal H = I − 2P em
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