lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 4 Transformações Lineares 41
ou seja,
onde
A(x 1 ,x 2 ,...,x n ) = (y 1 ,y 2 ,...,y m ),
y 1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1n x n
y 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2n x n
. (*)
y m = a m1 x 1 +a m2 x 2 +···+a mn x n .
Resumindo: uma transformação linear A: R n → R m fica inteiramente
determinada por uma matriz a = [a ij ] ∈ M(m × n). Os
vetores-coluna dessa matriz são as imagens A · e j dos vetores da
base canônica de R n . A imagem A · v de um vetor arbitrário v =
(x 1 ,...,x n ) ∈ R n é o vetor w = (y 1 ,...,y m ) ∈ R m cujas coordenadas
são dadas pelas equações (*) acima, nas quais ocorrem os vetoreslinha
da matriz a. Diz-se que a é a matriz da transformação A relativa
às bases canônicas de R n e R m . Tem-se
A·e j =
m∑
a ij e i (j = 1,...,n),
i=1
onde os e j estão em R n e os e i em R m .
Em particular, a matriz de um funcional linear ϕ: R n → R é do
tipo 1 × n, logo pode ser escrita simplesmente como [a 1 ,a 2 ,...,a n ],
onde a j = ϕ(e j ). Para todo vetor x = (x 1 ,...,x n ) ∈ R n tem-se ϕ(x) =
a 1 x 1 +···+a n x n .
Na situação dual, uma transformação linear A: R → R n é dada
por uma matriz n × 1, cuja única coluna é o vetor v = A · 1 =
(a 1 ,...,a n ). (A base canônica de R 1 = R tem um único elemento
e 1 = 1.) Assim, a transformação linear A: R → R n fica inteiramente
determinada por um único vetor v ∈ R n . Tem-se A · t = t · v
para todo t ∈ R. Evidentemente, o mesmo se pode dizer de toda
transformação linear A: R → F, seja qual for o espaço vetorial F:
conhecendo v = A·1 ∈ F tem-se A·t = tv para todo t ∈ R.
Exemplo 4.1. Se dim E = 1, todo operador A: E → E é do tipo
A = αI, isto é, existe uma constante α ∈ R tal que Av = αv para