lgebra Linear, Elon Lages Lima

26 Bases Seção 3
com α r ≠ 0. Daí viria v r = − α 1
α r
v 1 − ··· − α r−1
α r
v r−1 , logo v r seria
combinação linear dos elementos anteriores a ele na lista v 1 ,...,v m .
(Observe que r > 1 pois v 1 ≠ 0.)
Observação: Evidentemente, vale um resultado análogo, com “subseqüentes”
em vez de “anteriores” no enunciado.
Um conjunto X ⊂ E diz-se linearmente dependente (abreviadamente,
L.D.) quando não é L.I. .
Isto significa que algum dos vetores v ∈ X é combinação linear
de outros elementos de X, ou então que X = {0}. A fim de que X seja
L.D. é necessário e suficiente que exista uma combinação linear nula
α 1 v 1 +···+α m v m = 0 de vetoresv 1 ,...,v m ∈ X com algum coeficiente
α i ≠ 0. Se X ⊂ Y e X é L.D. então Y também é L.D. . Se 0 ∈ X então o
conjunto X é L.D. .
Exemplo 3.2. Os vetores u = (1,2,3), v = (4,5,6), w = (7,8,9) em
R 3 são L.D. pois w = 2v−u.
Exemplo 3.3. Quando os vetores v 1 ,...,v m são L.D., isto não significa
que qualquer um deles seja combinação linear dos demais. Por
exemplo se u = (1,2), v = (3,4) e w = (4,8) então {u,v,w} ⊂ R 2 é um
conjunto L.D. pois w = 4u+0·v porém v não é combinação linear de
u e w.
Uma base de um espaço vetorial E é um conjunto B ⊂ E linearmente
independente que gera E. Isto significa que todo vetor v ∈ E
se exprime, de modo único, como combinação linear v = α 1 v 1 +···+
α m v m de elementos v 1 ,..., v m da base B. Se B = {v 1 ,...,v m } é uma
base de E e v = α 1 v 1 + ··· + α m v m , então os números α 1 ,...,α m
chamam-se as coordenadas do vetor v na base B.
Exemplo 3.4. Os vetores e 1 = (1,0,...,0),...,e n = (0,...,0,1) constituem
uma base {e 1 ,...,e n } de R n , chamada a base canônica. Analogamente,
os monômios 1,x,...,x n formam uma base para o espaço
vetorial P n dos polinômios de grau ≤ n. O conjunto
{1,x,...,x n ,...}
dos monômios de graus arbitrários constitui uma base (infinita) para
o espaço vetorial P de todos os polinômios reais. Convém observar,
entretanto, que o conjunto X = {e 1 ,...,e n ,...} ⊂ R ∞ , onde