lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 12 Subespaços Invariantes 149
sua validez para m. Dada a combinação linear nula
α 1 v 1 +···+α m v m = 0, (*)
aplicamos o operador A a ambos os membros desta igualdade, levando
em conta que Av i = λ i v i . Resulta então que
λ 1 α 1 v 1 +···+λ m α m v m = 0. (**)
Multiplicando a igualdade (*) por λ m e subtraindo de (**) vem:
(λ 1 −λ m )α 1 v 1 +···+(λ m−1 −λ m )α m−1 v m−1 = 0.
Pela hipótese de indução, os vetores v 1 ,...,v m−1 são L.I. . Logo
(λ 1 −λ m )α 1 = ··· = (λ m−1 −λ m )α m−1 = 0.
Como os autovalores são todos diferentes, as m − 1 diferenças nos
parênteses acima são ≠ 0, logo α 1 = ··· = α m−1 = 0. Isto reduz
a igualdade (*) a α m v m = 0. Como v m ≠ 0, segue-se que α m = 0.
Assim, a igualdade (*) só pode ocorrer quando todos os coeficientes
α i são nulos, o que prova o teorema.
Corolário. Seja dim E = n. Se um operador linear A: E → E possui
n autovalores diferentes então existe uma base {v 1 ,...,v n } ⊂ E em
relação à qual a matriz de A é diagonal (isto é, tem a forma [a ij ] com
a ij = 0 se i ≠ j).
Com efeito, se Av 1 = λ 1 v 1 ,...,Av n = λ n v n com os v i não-nulos e
os λ i dois a dois distintos então {v 1 ,...,v n } é, em virtude do Teorema
12.2, uma base de E. A matriz de A nesta base é
⎡ ⎤
λ 1 λ 2 ⎢
⎣
. ..
⎥
⎦
λ n
na qual os termos que não aparecem são iguais a zero.
A igualdade Av = λv equivale a (A − λI)v = 0, logo v é um
autovetor do operador A: E → E se, e somente se, é um elemento
não-nulo do núcleo N(A − λI). Noutras palavras, a fim de que λ