lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 10 Produto Interno 123
Figura 10.3.
Quando se tem apenas u ≠ 0, o eixo que contém u é o mesmo
que contém o vetor unitário u ′ = u/|u| (= |u| −1 · u). A projeção ortogonal
de v sobre este eixo é, portanto, igual a 〈u ′ ,v〉u ′ , ou seja,
(〈u,v〉/〈u,u〉)·u. Usaremos a notação
pr u (v) = 〈u,v〉
〈u,u〉 · u
para indicar a projeção ortogonal do vetor v sobre o eixo que contém
o vetor não-nulo u.
Se z = pr u (v), tem-se v = z + w, com w ⊥ z. Pelo Teorema
de Pitágoras, |v| 2 = |z| 2 + |w| 2 . Em particular vemos que |z| ≤ |v|,
isto é, o comprimento da projeção pr u (v) é menor do que ou igual ao
comprimento de v.
Ora, a norma do vetor pr u (v) é igual a|〈u,v〉|/|u|. Segue-se então
que, para quaisquer u,v ∈ E, tem-se |〈u,v〉|/|u| ≤ |v|, ou seja
|〈u,v〉| ≤ |u|·|v|
(desigualdade de Schwarz).
A rigor, o argumento acima prova a desigualdade de Schwarz
apenas no caso em que u ≠ 0. Mas ela é óbvia no caso em que u = 0.
Logo vale em geral.
Um importante complemento da desigualdade de Schwarz é que
vale a igualdade |〈u,v〉| = |u||v| se, e somente se, um dos vetores
u, v é múltiplo do outro. Isto resulta do raciocínio acima pois, no
Teorema de Pitágoras |v| 2 = |z| 2 + |w| 2 , dizer |v| = |z| significa que
w = 0, isto é, que v é múltiplo de u.
Resulta da desigualdade de Schwarz que num espaço vetorial
com produto interno a norma satisfaz a desigualdade triangular:
|u+v| ≤ |u|+|v|.