lgebra Linear, Elon Lages Lima

232 Formas Quadráticas Seção 18
Teorema 18.4. (Lei da inércia, de Sylvester.) Se existir uma base
V = {v 1 ,...,v m } ⊂ E tal que, para todo v = Σx j v j ∈ E se tem
ϕ(v) = −x 2 1 −···−x2 i +x2 i+1 +···+x2 r
então a forma quadrática ϕ tem índice i e posto r.
Demonstração: Já vimos acima que o posto de ϕ é r. Quanto ao
índice, seja F ⊂ E um subespaço vetorial, restrito ao qual ϕ é negativa.
Mostremos que dim F ≤ i. Com efeito, se o vetor não-nulo
v =
m∑
x j v j
j=1
pertencer a F então
logo
−x 2 1 −···−x2 i +x2 i+1 +···+x2 r < 0,
x 2 1 +···+x2 i > 0
e daí (x 1 ,...,x i ) ≠ 0. Isto mostra que a transformação linear A: F →
R i , definida por
⎛ ⎞
m∑
Av = A⎝
x j v j
⎠ = (x 1 ,...,x i ),
j=1
é injetiva, portanto dim F ≤ i. Para finalizar, observamos que o
subespaço gerado por v 1 ,...,v i tem dimensão i e, restrita a ele,
ϕ(v) = −x 2 1 −···−x2 i
é negativa, Logoiéamaior dimensão de um subespaço deE, restrita
ao qual ϕ é negativa.
Usualmente, a Lei da Inércia de Sylvester é enunciada sob a seguinte
forma equivalente: seja qual for a base V = {v 1 ,...,v m } ⊂ E
tal que
ϕ(v) = −x 2 1 −···−x2 i +x2 i+1 +···+x2 r (*)
para v = Σx j v j , os números i e r são os mesmos.