lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 223
17.15. Prove que a matriz
a =
[ ] 0 a
b c
admite uma decomposição do tipo a = lu se, e somente se, b = 0.
17.16. Obtenha a decomposição lu das matrizes
⎡ ⎤
1 2 2
⎡
2 1 0
⎤
4
a = ⎣3 3 4⎦ e b = ⎣4 5 1 7 ⎦ .
4 −1 3 2 −8 −1 12
17.17. Seja a ∈ M(m×n) uma matriz de posto máximo que admite
uma decomposição do tipo a = lu ′ , onde l ∈ M(m×m) é triangular
inferior, com elementos da diagonal todos iguais a1, e u ′ ∈ M(m×n)
é escalonada. Prove que existem uma matriz diagonal invertível
d ∈ M(m × m) e uma matriz escalonada u ∈ M(m × n), com pivôs
todos igual a 1, tais que a = ldu.
17.18. Obtenha a decomposição lu da matriz do Exemplo 9.3.
17.19. A partir da decomposição lu, obtenha a decomposição de
Cholesky das matrizes positivas a = matriz de Gram dos vetores
u = (1,2,1), v = (1,1,2), w = (2,1,3) e b = produto da matriz
por sua transposta.
⎡ ⎤
1 1 1 1
m = ⎢1 2 1 1
⎥
⎣2 1 2 2⎦
2 2 1 3
17.20. Foi visto no texto que se a = lu é a decomposição da matriz
positiva a e d é a matriz diagonal formada pelas raízes quadradas
d ii = √ u ii dos pivôs então a = (ld) · (d −1 u) é a decomposição de
Cholesky de a. Modifique ligeiramente este argumento para provar
que existe uma decomposição de Cholesky a = t T .t para qualquer
matriz não-negativa a. (Mas agora não há unicidade.)