lgebra Linear, Elon Lages Lima

56 Produto de Transformações Lineares Seção 5
5.14. Seja A: R 2 → R 2 o operador linear definido por A(x,y) = (ax+
by,cx + dy). Verifique que A 2 − (a + d)A = (bc − ad)I. Use esta
igualdade para provar que, sead−bc ≠ 0, existe um operador linear
B: R 2 → R 2 tal que BA = AB = I.
5.15. Seja C(A) o conjunto dos operadores lineares X: E → E que
comutam com o operadorA ∈ L(E) (isto é,AX = XA). Prove queC(A)
é um subespaço vetorial de L(E) e que X,Y ∈ C(A) ⇒ XY ∈ C(A).
5.16. Seja A: R 2 → R 2 um operador linear que não é da forma αI.
Prove:
(a) Existe w ∈ R 2 tal que {w,Aw−w} ⊂ R 2 é uma base.
(b) Se P: R 2 → R 2 é o operador que a cada v = xw+y(Aw−w) ∈ R 2
faz corresponder Pv = xw então AP ≠ PA.
Conclua que os únicos operadores lineares em R 2 que comutam
com todos os demais são os da forma αI.
5.17. Estenda o exercício anterior para todos os espaços vetoriais de
dimensão finita (maior do que 1) em vez de R 2 .
5.18. Sejam A: E → F uma transformação linear e B: F → E uma
função tal que AB = I F e BA = I E . Prove que B é uma transformação
linear.
5.19. Seja E um espaço vetorial de dimensão n. Para todo k =
2,...,n, exiba um operador linear A: E → E tal que A k = 0 mas
A j ≠ 0 se j < k.
5.20. Sejam A,P: E → E operadores lineares não-nulos tais que
AP = 0. Prove que existem vetores diferentes de zero u ≠ v com
Au = Av.
5.21. Sejam A: R 2 → R 2 um operador linear e P: R 2 → R 2 a projeção
ortogonal sobre uma reta r (passando pela origem). Prove que as
seguintes afirmações são equivalentes:
(a) Para todo v ∈ r tem-se Av ∈ r.
(b) PAP = AP.
5.22. Seja X: F → G uma transformação linear tal que Xw ≠ 0 para
todo w ≠ 0 em F. Prove que se A,B ∈ L(E;F) cumprem XA = XB
então A = B.