lgebra Linear, Elon Lages Lima

284 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
Todo espaço vetorial real E de dimensão par 2n pode (de infinitas
maneiras) ser considerado como espaço vetorial complexo de
dimensão n de tal forma que a nova multiplicação de um número
complexo por um vetor coincida com a multiplicação anterior quando
esse número complexo é real. Para isso, basta considerar um operador
R-linear J: E → E tal que J 2 = −I e definir, para cada número
complexo ζ = α+iβ e cada vetor v ∈ E, o produto ζ·v como ζ·v =
αv+βJv. (A adição de vetores continua a mesma.)
A verificação de que esta definição atende às exigências sobre as
regras operacionais é imediata. Resta apenas mostrar como se acha
um tal operador J. Para isso, fixamos uma base de E, a qual numeramos
da forma {u 1 ,...,u n ,v 1 ,...,v n }. Existe um único operador
R-linear J: E → E tal que Ju 1 = v 1 ,...,Ju n = v n , Jv 1 = −u 1 ,...,Jv n =
−u n . Nesta concepção de E como espaço vetorial complexo, o operador
J é simplesmente a multiplicação pelo número i, logo v 1 =
iu 1 ,...,v n = iu n e {u 1 ,...,u n } ⊂ E é uma C-base.
A noção de espaço vetorial complexo foi introduzida aqui a fim de
servir como instrumento para obter resultados referentes a espaços
vetoriais reais.
A esse propósito, a principal vantagem dos espaços vetoriais complexos
sobre os reais é a seguinte: todo operador linear A: E→E
num espaço vetorial complexo de dimensão finita possui pelo menos
um autovalor (complexo). Antes, porém, de estabelecermos e
explorarmos este fato, vamos retomar uma afirmação anterior, segundo
a qual tudo o que foi feito até a Seção 9 sobre espaços vetoriais
reais vale igualmente para complexos. Por que não foi incluída a
Seção 10?
É que se faz necessário modificar o conceito de produto interno
quando se trata de um espaço vetorial complexo E. Se o produto
interno for bilinear então 〈iv,iv〉 = i 2 〈v,v〉 = −〈v,v〉, logo não pode
ser positivo.
O impasse é resolvido mediante a noção de produto interno hermitiano.
Este é, por definição, uma função E×E → C que associa a
cada par ordenado de vetores u,v no espaço vetorial complexo E um
número complexo, representado pela notação 〈u,v〉, de tal modo que
sejam cumpridas as condições seguintes, para quaisquer u,v,u ′ ∈ E,
ζ ∈ C, onde uma barra sobre um número complexo ζ = α+iβ significa
seu conjugado ζ = α−iβ: