lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Operadores Normais
(Caso Real)
Estudaremos agora o tipo mais geral de operadores (num espaço vetorial
de dimensão finita, munido de produto interno) para os quais
vale um resultado análogo ao do Teorema 14.3, ou seja: existe uma
base ortonormal na qual a matriz do operador começa na forma diagonal,
seguida por uma série de blocos 2×2 da forma
[ ] α β
.
−β α
Eles são os operadores normais. Na Seção 21 veremos que, nos espaços
vetoriais complexos, os operadores normais são precisamente
aqueles que admitem uma base ortonormal de autovetores.
Nesta seção, todos os espaços vetoriais têm dimensão finita e são
munidos de produto interno.
Um operador linear A: E → E chama-se normal quando comuta
com seu adjunto, isto é, quando AA ∗ = A ∗ A.
Uma matriz quadrada a diz-se normal quando comuta com sua
transposta, isto é, quando aa T = a T a. Portanto um operador é normal
se, e somente se, sua matriz relativamente a uma base ortonormal
é uma matriz normal.