lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 20 O Polinômio Característico 271
conjugados, α+iβ e α−iβ, com produto α 2 +β 2 , logo o produto das
raízes de p A é real.)
Outro termo de fácil determinação no polinômio p A (λ) é o coeficiente
de λ n−1 . Na expressão clássica de det(A − λI) em termos
da matriz a = [a ij ] de A numa certa base, as parcelas que contém
a potência λ n−1 resultam do produto Π(a ii − λ) dos termos da diagonal
de a − λI n , logo são todas da forma (−1) n−1 a ii λ n−1 . Portanto
(−1) n−1∑ a ii é o coeficiente de λ n−1 no polinômio p A (λ).
Novamente, a expressão
∏
n
p A (λ) = (−1) n (λ−λ i )
i=1
mostra que o coeficiente de λ n−1 é igual a (−1) n−1 vezes a soma das
raízes do polinômio p A .
Isto nos leva a concluir que, seja qual for a base escolhida em E,
a soma Σa ii dos elementos da diagonal da matriz de A nessa base é
a mesma, igual à soma das raízes características de A, que é sempre
um número real (mesmo que haja raízes complexas) pois (α+iβ)+
(α−iβ) = 2α.
Esta soma Σa ii chama-se o traço do operador A e é designada
com a notação tr A.
Segue-se do Exemplo 20.1 que tr AB = tr BA sejam quais forem
os operadores linearesA,B: E → E. (Isto também se vê diretamente,
multiplicando as matrizes de A e B.)
Com esta notação, quando dim E = 2 o polinômio característico
de um operador A: E → E se escreve p A (λ) = λ 2 −(tr A)λ+det A.
Vimos no Exemplo 20.2 que as raízes características de um operador
triangularizável são todas números reais. Mostraremos agora
que vale a recíproca.
Para isso, faremos uso do seguinte
Lema. Seja F ⊂ E um subespaço invariante pelo operador A: E → E.
Se A ′ : F → F representa a restrição de A ao subespaço F, então o
polinômio p A ′ é um divisor de p A .