lgebra Linear, Elon Lages Lima

68 Núcleo e Imagem Seção 6
6.4. Ache a, b, c, d tais que o operador A: R 2 → R 2 com A(x,y) =
(ax+by,cx+dy), tenha a reta y = 2x como imagem.
6.5. Escreva a expressão de um operador A: R 2 → R 2 cujo núcleo
seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y = 2x.
6.6. Defina um operador A: R 2 → R 2 que tenha como núcleo e como
imagem o eixo x.
6.7. Resolva um exercício análogo ao anterior, com a reta y = 5x em
lugar do eixo x.
6.8. Considere a transformação linear A: R 4 → R 3 , dada por
A(x,y,z,t) = (x+y+z+2t,x−y+2z,4x+2y+5z+6t),
encontre um vetor b ∈ R 3 que não pertença à imagem de A e com
isso exiba um sistema linear de três equações com quatro incógnitas
sem solução.
6.9. Seja E = C 0 (R) o espaço das funções contínuas f: R → R. Defina
o operador linear A: E → E pondo, para cada f ∈ E, Af = ϕ, onde
ϕ(x) = ∫ x
0
f(t)dt, x ∈ R. Determine o núcleo e a imagem do operador
A.
6.10. Seja E = R ∞ o espaço vetorial cujos elementos são as seqüências
x = (x 1 ,x 2 ,...) de números reais. Defina os operadores
lineares A,B: E → E pondo Ax = (x 1 ,0,x 2 ,0,x 3 ,...) e Bx = y, onde
y = (y 1 ,y 2 ,...), ondey k = x k+1 −2x k . Determine o núcleo e a imagem
de A e B.
6.11. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Uma transformação linear A: E→F é sobrejetiva se, e somente
se, dim N(A) = dim E−dim F.
( ) Dada a transformação linear A: E → F, para todo b fixado em
F, o conjunto G = {x ∈ E;Ax = b} é um subespaço vetorial de E.
( ) Para todo operador linear A: E → E, tem-se E = N(A)⊕ImA.
( ) Todo operador linear injetivo no espaço C 0 (R) das funções contínuas
f: R → R é também sobrejetivo.