lgebra Linear, Elon Lages Lima

186 Operadores Ortogonais Seção 14
Prove que o operador A é ortogonal.
14.9. Para quaisquer duas bases ortonormais U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E e
V = {v 1 ,...,v n } ⊂ E, prove que existe um operador ortogonal A: E →
E tal que Au 1 = v 1 ,...,Au n = v n . Se as bases dadas são formadas
pelos vetores
u 1 = 1 3 (1,2,2), u 2 = 1 3 (2,1,−2), u 3 = 1 3 (2,−2,1) e
v 1 = 1 7 (2,3,6), v 2 = 1 7 (6,2,−3), v 3 = 1 7 (3,−6,2) em R3 ,
determine a matriz de A na base canônica de R 3 .
14.10. Dado o vetor unitário u ∈ R n , prove que o operador H u : R n →
R n , definido porH u·v = v−2〈v,u〉u, é ortogonal. (Reflexão em torno
de {u} ⊥ .) Dados os vetores v ≠ w em R n , com |v| = |w|, mostre que,
tomando u = (v−w)/|v−w|, tem-se H u v = w. Determine a matriz
de H u em função das coordenadas de u (“matriz de Householder”).
14.11. Prove que todo operador A: E → E, num espaço vetorial de
dimensão finita munido de produto interno se escreve como A = UP,
onde U é ortogonal e P é não-negativo. (Faça a decomposição polar
de A ∗ .)
14.12. Com a notação do Exercício 11.17, considere um operador
ortogonal A ∈ L(E) e defina M A : L(E) → L(E) pondo M A · X = AX.
Prove que M A é um operador ortogonal.
14.13. Se uma matriz ortogonal é triangular, prove que ela é diagonal
e seu quadrado é igual à matriz identidade.
14.14. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, com produto
interno. Uma função S: E → E chama-se uma semelhança quando
existe um número r > 0 (chamado a razão de semelhança) tal que
|S(u)−S(v)| = r|u−v| para quaisqueru,v ∈ E. SeSéuma semelhança
de razão r, prove que existem um operador ortogonal A: E → E e um
vetor b ∈ E tais que S(v) = r.Av+b para todo v ∈ E.
14.15. Seja A: E → E um operador linear que transforma vetores
unitários em vetores unitários. Prove que A é ortogonal. Deduza
daí que se S: E → E é um operador linear invertível que transforma
dois quaisquer vetores de mesmo comprimento em vetores de mesmo
comprimento então S é uma semelhança.